复旦热力学与物理统计课件7近独立粒子的量子统计

经典力学+统计原理经典统计分布困难：1.熵2.多原子理想气体热容量从微观结构出发解释宏观性质：理想气体物态方程单原子理想气体热容量和内能原因：微观粒子本质上遵循量子力学规律，经典力学是宏观极限（）。0量子力学+统计原理量子统计分布1．不确定关系2．能量量子化3．全同性原理第五章近独立粒子的量子统计1.粒子和系统的微观运动状态2.玻色分布和费米分布3.热力学量的统计表达式4.量子统计的经典极限5.弱简并量子理想气体6.玻色－爱因斯坦凝结7.光子气体8.自由电子气体§5.1粒子和系统的微观运动状态1.粒子运动状态的量子描述波粒二象性pk不确定关系ΔΔpqh粒子运动状态——量子态定态用一组量子数表征，个数等于自由度数。相对而言是小量的情形，波动性不显著，轨道概念近似成立。h例1自由粒子LLL2ˆˆ2Hmp箱归一化,,,,,,,0,1,2,xyzxyzxyzhpppnnnLnnn22222,,2xyzxyznnnhnnnmL动量和能量分立212Δ(21)2xxxnnnxhnmLΔxhpL27210kgm210mL2310KT222122xnxhnkTmL810xLnmkTh8Δ10xxnn宏观体系，粒子平动动量准连续；常温下，粒子平动能量准连续，量子化现象不显著，可近似当作经典粒子处理。321Δ10kgmsxhpL一个量子态在动量空间对应的体积33ΔΔΔxyzhhpppLV动量空间体积元中的量子态数331dddddddddxyzxyzVppppppxyzhhdddxyzppp空间体积元中的量子态数ddpr31ddhpr一个量子态在空间对应的体积3h不确定关系1212ΔΔΔΔΔΔrrrpppqqqhΔΔpqh相格大小动量空间球坐标23sindddVpph动量大小在dppp范围内的可能状态数234πdVpph能量在d范围内的可能状态数22pm2pm312232π(2)dVmh态密度单位能量间隔内的可能状态数132232π2VDmh例2一维体系中自由粒子的态密度动量在dxxxppp范围内的可能状态数dxLph动量大小在dppp范围内的可能状态数2dLphpdppdpxp能量在d范围内的可能状态数1122(2)dLmh112212LDmh22pm2pm影响态密度的因素维度p例3一维谐振子222ˆ1ˆˆˆi22pHmqpmq1,0,1,2,2nnn例4自旋粒子除了轨道运动，还有自旋运动，具有自旋角动量。22211,,,1,,1,zsssSssSmmssssS电子、质子、中子12s1s0s光子介子自旋磁量子数描述自旋状态。sm自旋对态密度贡献因子21s13223212π2sVDmh2.系统微观运动状态经典全同粒子可以通过跟踪轨道运动加以分辨。量子全同粒子不可分辨，任意交换一对粒子，不改变系统的微观运动状态。——全同性原理确定系统微观状态必须确定每个粒子的运动状态。确定系统微观状态就是确定每个单体量子态上的粒子数。量子粒子占据单体量子态的规律：玻色子s为整数单体量子态上的粒子数不受限制。费米子s为半整数单体量子态上的粒子数最多为1。泡利不相容原理玻色子：光子、介子及由玻色子或偶数个费米子组成的复合粒子。费米子：电子、质子、中子及由奇数个费米子组成的复合粒子。定域子：固体中的原子、离子，在各自平衡位置附近作微振动，波函数几乎不交叠，可用位置加以分辨。例42个粒子占据3个单体量子态的微观状态数量子态1量子态2量子态3定域子239量子态1量子态2量子态3玻色子2231C6量子态1量子态2量子态3费米子23C3对不可区分的粒子，一个微观状态对应一种分布。多个微观状态对应一种分布。§5.2玻色分布和费米分布1.粒子按能级的分布…123能级简并度粒子数l12l1a2ala12{}la由全同近独立玻色和费米子组成系统的平衡态最概然分布按状态的分布{}sf{}sf例52个粒子占据2个能级（3个单体量子态）的分布和微观状态定域子2,01,10,2202!1212!0!112!1241!1!022!1240!2!2392,0,01,1,01,0,10,2,00,1,10,0,2玻色子2231C62，0202110212!1!CC12!0!0!1!1，1111111211!2!CC21!0!1!1!0，2020112210!3!CC30!0!2!1!费米子23C31，10，211121!2!CC21!0!1!1!02121!2!CC10!1!2!0!2,0,01,1,00,2,00,1,10,0,21,0,11,1,01,0,10,1,12.分布对应的系统微观状态数{}la定域子组成的玻耳兹曼系统：L!({})!lalllllNaa费米系统：F!({})C!!llalllllllaaa玻色系统：B11!({})C!1!lllllalallllaaa经典极限：1lla单体量子态的平均粒子数远小于1。——非简并性条件LB12!!!llaallllllllllaaaaNLF11!!!llaalllllllllaaaNC!lallla各粒子占据不同的量子态，但任意两个粒子交换量子态，不影响微观状态。个处于不同量子态上的粒子交换量子态的总方式数为。N!N3.粒子按能级分布的推导llaN孤立系统约束条件lllaEBlnln1!ln!ln1!lllllaaFlnln!ln!ln!lllllaaClnlnln!llllaa假设1la1l1llalnlnlnlllllllllaaaalnlnlnlllllllllaaaalnlnllllllaaaa11lnlnlnlnlllllllllaaaaaaaa1F1B0Ca0lnlnln1lnllllllllaaaaaaaδlnlnδ0lllllaaaaδδ0lllEaδδ0llNaδlnlnδ0llllllaaNEaaln0llllaaaelllaaelllNaellllEa粒子按量子态的分布1essfa1essNaesssEa§5.3热力学量的统计表达式和看作已知参量elllNaellllUEa巨配分函数1ellalalnln1elllaalnNlnU0,lneeelsllsZ,,VelllllllpaVaV1lnpVddddUTSpVN一个粒子的化学势1ddddUpVNSTlnlnlnddddddlnlnlnlnlndddddlnlndlnUpVNVVVV1kTkTlnlnddlnSk开系lnlnlnSk平衡态11lnlnlnlnlllllllllaaaaaaaaelllaalnln1eelnllllllaaaNUlnSklnSkNUJUTSNlnJpV巨热力势ddddJSTpVN§5.4量子统计的经典极限1lla1.非简并性条件elllaa1Fermi1Bose0ClassicalLimit,Localizedae1elllaFLCB!N0eedlllND132232π2VDmh3222πemkTVh32212πe1,mkTNnnhV温度愈高，密度愈低，分子质量愈大，非简并性条件愈易满足。热运动的平均德布罗意波长2πhmkTπkT131n平均热波长远小于粒子平均距离，波动性不显著，过渡到经典极限。满足以上条件，可用玻耳兹曼统计；否则必须采用量子统计。除低温下的He，一般气体满足非简并性条件。2.单原子分子理想气体的熵20332πlnln1ln22mkSNkTNkVNkh经典统计不确定关系2332πlnln1ln22mkSNkTNkVNkhFLCB!N2332πlnln1lnln!22mkSNkTNkVNkkNh全同性原理ln!ln1NNN23352πlnlnln223VmkNkTNkNkNh绝对熵——不含任意熵常数，是广延量。32212πe1,mkTNnnhV化学势322ln2π0kTkTnhmkT3.双原子分子理想气体的内能和热容量经典统计能量均分定理：每个独立平方项对内能和热容量的贡献分别为和。2kT2kt32UNkTrUNkTvUNkT72UNkTt32VCNkrVCNkvVCNk72VCNk实验结果：常温下，52VCNk分析：经典状态（能量）连续，积分量子状态（能量）量子化，求和仅当能量准连续时，求和可以过渡为积分，得到能量均分定理。2222222202tvr11122sin22rxyzpppppprrmI20Ir2tˆˆ2Hmp2222t2,,,0,1,2,2xyzxyzhnnnnnnmL2rˆˆ2LHI2r1,0,1,2,2lllIv1,0,1,2,2nntrvtvrtrvt,r,vtrvtrvtrveeeeelllZZZZ21,1,,lmlll常温下，，平动能级准连续。tΔ1kTttt0teedZD132232π2VDmh3222πmVhtrvtrvlnlnlnlnZUNNZZZUUUtrvtrvVVVVUCUUUCCCTTttln32ZUNNkTtt32VUCNkT212r021ellIkTlZl转动特征温度r1021ellTll