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教案重积分变量代换公式的证明1.教学内容我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式，然后将一般的变量代换视为向量值函数，将它分解为两个本原变换的复合，从而给出了重积分变量代换公式一个容易理解而简单的证明。2.指导思想重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点，如何化解这一难点，使学生理解并掌握这一重要内容，是本教案的目的。我们通过将一般的变量代换分解为两个本原变换的复合的方法，然后对本原变换的情况进行证明，使得证明简单而容易理解。同时，也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的方法。3.教学安排1．我们先叙述定积分的变量代换公式（即换元法），然后利用类比法看一下二重积分变量代换公式应该是怎样的：定积分：设在区间上连续，变换)(xf],[ba)(txϕ=是一一对应，有连续导数，ϕα()=a:)(txϕ=],[βα（或],[αβ）（],[ba→β()=b，ϕ），则fxdxab()∫=fttd(()))ϕϕαβ′(∫t二重积分：设在有界闭区域D连续，变换是一一对应，有连续偏导数，则类比定积分的变量代换公式，重积分的变量代换公式似乎应该是)(:),(),(:DTvuyyvuxxT→⎩⎨⎧==D),(yxf∫∫∫∫∂∂=DDdudvvuyxvuyvuxfdxdyyxfT),(),()),(),,((),()(，),(),(vuyx∂∂是向量值函数T的导数。但是注意在定积分情况下，如果0)('tϕ其中，则βα，即右端积分的上限小于下限，交换积分上下限后，)('tϕ)('tϕ−就换成；而在重积分情况下，,(,(ux∂∂))vy也有可能小于0，但由于积分区域D没有方向（或符号）概念，因此对),(),(vuyx∂∂要加上绝对值符号，即1∫∫∫∫∂∂=DDdudvvuyxvuyvuxfdxdyyxfT),(),()),(),,((),()(。2．二重积分变量代换公式设U为平面上的开集，是uvVxy平面上开集，映射Txxuvyyuv:(,),(,)==是到的一个一一对应。进一步假设UVxxuvyyuv==(,),(,)具有连续偏导数，且有),(),(vuyx∂∂),(),(vuyx∂∂≠0，则由连续性可知在上不变号。对于中任意具有分段光滑边界的有界闭区域，记它的像为UU⊂，则VD)(DET=)(DET=也是具有分段光滑边界的有界闭区域。换言之，区域与D)(DET=都具有零边界。在这样的假设下，我们有如下的二重积分的变量代换公式。定理1(二重积分变量代换公式)映射T和区域D如上假设。如果二元函数在上连续，则)(DT),(yxf∫∫∫∫∂∂=DDvuvuyxvuyvuxfyxyxfTdd),(),()),(),,((dd),()(。为证明定理1，我们将区域D用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于区域具有零边界，当分割充分细的时候，与区域边界相交的小矩形的面积之和可以任意小，因此我们只需要考虑包含在区域内的小矩形DDD。R3．定义形如xT:),(,),(vuyyuvuxx===或:vvuyyvuxx===),(,),(yT的映射称为本原映射。，等式引理1设T为本原映射，则对于每个小矩形RmRvuyxRmTvu)~,~(),(),()(∂∂=成立，这里为(~,~)uvR上某一点。证仅对本原映射证明，对的证明是类似的。xTyT设在上UJ0。由于这时成立001),(),(∂===vyvyuyvuyxJ∂∂∂∂∂∂∂，所以在每个小矩形R=[e,f]×[g,h]上，对于固定的是的单调增加函数，因此v),(,vuyu被一一对应地映到R。)},(),(,|),{()(hxyygxyfxeyxRT≤≤≤≤=2vhgOefuy),(hxy),(gxyOefx图13.3.9TR()的面积为所以),))(,~(),~(()],(),([)(),(),()(efguyhuydxgxyhxydydxdxdyRmTfehxygxyfeRT−−=−===∫∫∫∫∫其中。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得euf≤≤~mRvuvuyxmRvuvyefghvuvyRmT)~,~(),(),()~,~())()(~,~()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=∂∂=−−∂∂=，其中。gvh~如果T的Jacobi行列式为负的，以上讨论中关于y的不等式反向，重复以上证明可同样得到mRvuyxRmTvu)~,~(),(),()(∂∂=。证毕下面证明变量代换公式对于本原映射成立。引理2设T为本原映射，二元函数在上连续，则)(DT),(yxf∫∫∫∫∂∂=DDdudvvuyxvuyvuxfdxdyyxfT),(),()),(),,((),()(。证考虑上述对区域的分割，设是包含在区域内的所有小矩形，由引理1，在上成立MDDD,,,21LDDiDivuimvuyxmTiiDD)~,~(),(),()(∂∂=，这里为中某一点。设(~,~)uvii~(~,~),~(~,~)xxuvyyuviiiiiiDi==，则从上式得∑∑∂∂=iivuiiiiiiiimDvuyxvuyvuxfDmTyxfii)~,~(),(),())~,~(),~,~(()()~,~(，ρρ设所有小矩形的对角线长度的最大值为，令趋于0，由二重积分的定义，即得∫∫∫∫∂∂=DDdudvvuyxvuyvuxfdxdyyxfT),(),()),(),,((),()(。证毕3为了完全证明定理1，还需要以下的结果：U∈=),(000vuQ引理3设T满足定理1的假设，则对于任意点，T在点附近可以表示成2个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。Q0证设),(),,(),,(000000000yxPvuyyvuxx===。0),(),(),(00≠∂∂vuvuyx0),(00≠∂∂vuux由于，行列式中必有元素不为零。不妨设，于是，本原映射⎩⎨⎧==vvuxTηξ),,(:10),(00≠∂∂vuux=∂∂),(),(),(00vuvuηξ的Jacobi行列式，由隐函数存在定理（或逆映射定理），局部地可得逆映射且⎩⎨⎧==,),,(ηηξvgug(,)ξη在的一个邻域具有连续偏导数。注意这时成立Tuv100(,)。uvvuxg=)),,((作⎩⎨⎧==),),,((,:2ηηξξgyyxT则有。),()),),,((()),,((),,(vuyvvvuxgygyyvuxx=====ηηξξ即。TTT=12o证毕4．二重积分变量代换公式的证明：根据引理3，对于每点D∈=),(vuQ存在它的一个邻域U，在这个邻域中，Qδ(){}D∈QQU|)(2δT可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于覆盖了，由Heine-Borel定理，存在有限多个邻域DUQUQUQSSδδδ1212222(),(),,()L，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2,,2,2min21*SδδδδL它们覆盖了。设D。δ*iD取划分充分细，使得所有的小矩形的对角线长度都小于，那么当小矩形与)(2jjQUδ相交时，必包含在某个中iD)(QUjδ)1(Sj≤≤。于是在每个（iD=i）上成立（为简便起见去掉了标记i，注意对不同的，可能有不同和），这里和是本原映射。设iDM,,2,1LTTT=2o1T1T2T1T2⎩⎨⎧==),,(),,(:1vuvuTηηξξ和⎩⎨⎧==).,(),,(:2ηξηξyyxxT那么),(),(),(),(),(),(vuyxvuyx∂∂⋅∂∂=∂∂ηξηξ。由引理2得4∫∫∫∫∂∂=)()(1),(),()),(),,((),(iTiTddyxyxfdxdyyxfDDηξηξηξηξ。∫∫∫∫∂∂=∂∂∂∂=iidudvvuyxvuyvuxfdudvvuyxvuvuyvuvuxfDD),(),()),(),,((),(),(),(),())),(),,(()),,(),,(((ηξηξηξηξ因此.),(),(),(),,((),(),(),(),,((),(),(11)()(∫∫∑∫∫∑∫∫∫∫∂∂=∂∂====DDDDdudvvuyxvuyvuxfdudvvuyxvuyvuxfdxdyyxfdxdyyxfMiiMiiTT证毕5．重积分的变量代换公式n对于重积分的变量代换，我们不加证明给出公式：n设U为nR（）上的开集，映射2n),,(,),,,(:1111nnnnxxyyxxyyTLLL==将一一对应地映到上。进一步假设都具有连续偏导数，而且这个映射的Jacobi行列式不等于零。UnRV⊂yyxxyyxxnnn1111==(,,),,(,,)LLLn设Ω为中具有分片光滑边界的有界闭区域，则有与二维情形类似的结论：U定理2映射T和区域Ω如上假设。如果是),,,(21nyyyfLT(Ω)上的连续函数，那么变量代换公式∫∫ΩΩ=nnnnTnndxdxxxyyyyfdydyyyfLLLLLL1111)(11),,(),,())(,),((),,(∂∂xx成立，其中。),,(1nxxL=x4．注意点1．重积分变量代换的概念，是数学分析课程中一个比较困难的内容。我们先通过类比方法，写出重积分变量代换的公式，使得学生先有一个对重积分变量代换的概念，然后再来证明，学生也就容易理解。同时通过类比，使学生容易记住这一重要的公式。2．将一般的变量代换视为向量值函数，将它分解为两个本原变换的复合，也就是将复杂的函数分解成简单函数的复合，将问题化为对简单函数的证明，这是数学上常用的一种方法，通过学习，希望同学掌握这一方法。3．在证明中，我们只考虑了包含在区域内的小矩形，这是因为区域具有零边界。通过学习，要求同学理解为什么我们在本章开始要引进零边界区域的概念。DD5