搜索
第二章数列极限§1实数系的连续性实数系实数集合R的重要的基本性质——连续性。第二章数列极限数系的扩充历史自然数集合N：关于加法与乘法运算是封闭的，但是N关于减法运算并不封闭。整数集合Z：关于加法、减法和乘法都封闭了，但是Z关于除法是不封闭的。整数集合Z具有“离散性”。§1实数系的连续性实数系实数集合R的重要的基本性质——连续性。有理数集合Q⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈==+ZNqppqxx,,|。关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q具有“稠密性”。c虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有“空隙”。例如用表示边长为1的正方形的对角线的长度，这个c就无法用有理数来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有必要将有理数集合加以扩充。-3-2-101c23图2.1.1有理数集合Q⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈==+ZNqppqxx,,|。关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q具有“稠密性”。有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集R：R={xx是有理数或无理数}。有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集R：R={xx是有理数或无理数}。全体无理数所对应的点（称为无理点）填补了有理点在坐标轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。实数集合的这一性质称为实数系R的“连续性”。R又被称为实数连续统。实数系R的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价的表述方式。“确界存在定理”就是实数系R连续性的表述之一。最大数与最小数记号：“∃”表示“存在”或“可以找到”，“∀”表示“对于任意的”或“对于每一个”。例如AB⊂⇔∀∈xA,有xB∈，AB⊄⇔∃∈xA,使得xB∉。设S是一个数集，如果S∈∃ξ，使得∀∈xS，有ξ≤x，则称ξ是数集S的最大数，记为ξ=maxS；如果S∈∃η，使得∀∈xS,有η≥x，则称η是数集S的最小数，记为η=minS。当数集S是非空有限集时，maxS是这有限个数中的最大者，minS是这有限个数中的最小者。但是当S是无限集时，S可能不具有最大数及最小数。最大数与最小数记号：“∃”表示“存在”或“可以找到”，“∀”表示“对于任意的”或“对于每一个”。例如AB⊂⇔∀∈xA,有xB∈，AB⊄⇔∃∈xA,使得xB∉。例2.1.1集合A=≥{|}xx0没有最大数，但有最小数，minA=0。例2.1.1集合A=≥{|}xx0没有最大数，但有最小数，minA=0。例2.1.2集合B=≤{|}xx01没有最大数。证用反证法。假设集合B有最大数，记为β。由∈β[,)01，可知21ββ+=′∈[,)01。但是ββ′，这就与β是集合B的最大数发生矛盾。所以集合B没有最大数。上确界与下确界设S是一个非空数集，如果R∈∃M，使得∀∈xS，有xM≤，则称M是S的一个上界；如果R∈∃m，使得∀∈xS，有xm≥,则称m是S的一个下界。上确界与下确界设S是一个非空数集，如果R∈∃M，使得∀∈xS，有xM≤，则称M是S的一个上界；如果R∈∃m，使得∀∈xS，有xm≥,则称m是S的一个下界。当数集S既有上界，又有下界时，称S为有界集。S为有界集⇔∃X0，使得Sx∈∀，有x≤X。设数集S有上界，记U为S的上界全体所组成的集合，则显然U不可能有最大数，下面将证明：U一定有最小数。设U的最小数为β，就称β为数集S的上确界，即最小上界,记为β=supS。上确界β满足下述两个性质：1.β是数集S的上界：∀∈xS，有β≤x；2.任何小于β的数不是数集S的上界：∀ε0，∃∈xS,使得εβ−x。若数集S有下界，记L为S的下界全体所组成的集合，则显然L不可能有最小数，同样可以证明：L一定有最大数。设L的最大数为α，就称α为数集S的下确界，即最大下界,记为α=infS。下确界α满足下述两个性质：1.α是数集S的下界：∀∈xS，有α≥x；2.任何大于α的数不是数集S的下界：∀ε0，∃∈xS，使得εα+x。定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。证任何一个实数x可表示成x=［x］+(x)，其中［x］表示x的整数部分，(x)表示x的非负小数部分。将(x)表示成无限小数的形式：(x)=012.aaan,其中aaan12，，，，中的每一个都是数字0，1，2，…，9中的一个，若(x)是有限小数，则在后面接上无限个0。注无限小数000012.aaap(ap≠0)与无限小数0199912.()aaap−是相等的，为了保持表示的唯一性，约定在(x)的无限小数表示中不出现后者。这样，任何一个实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示：｛0120.naaaa+｜a0=［x］,012.aaan=(x),xS∈｝。设数集S有上界，则可令S中元素的整数部分的最大者为α0，并记S0=∈={|[]}xxSx并且α0。S0不是空集，并且∀x∈S，只要0Sx∈，就有xα0。再考察数集S0中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，令它们中的最大者为α1，并记S1=∈{|}xxSx01并且的第一位小数为α。S1也不是空集，并且对于任意x∈S，只要∈x1S，就有xα010.α+。一般地，考察数集Sn−1中元素的无限小数表示中第n位小数的数字，令它们中的最大者为αn，并记Sn=∈−{|}xxSxnnn1并且的第位小数为α。Sn不是空集，并且对于任意x∈S，只要nSx∈，就有xα010.α+α2…αn。不断地做下去，我们得到一列非空数集S⊃S0⊃S1⊃…⊃Sn⊃…，和一列数α0，α1，α2，…，αn,…，满足0α∈Z；kα∈｛0,1,2,…，9｝,+∈Nk。令β=α0+10.αα2…αn…。下面分两步证明β就是数集S的上确界。令β=α0+10.αα2…αn…。下面分两步证明β就是数集S的上确界。（1）设Sx∈，则或者存在整数n00≥，使得0nSx∈；或者对任何整数n≥0，有xSn∈。若0nSx∈，便有xα0+10.αα2…αn0β≤；若xSn∈(∀N∈n)，由Sn的定义并逐个比较x与β的整数部分及每一位小数，即知有β=x。所以对任意的Sx∈，有xβ≤，即β是数集S的上界。（2）对于任意给定的0ε，只要将自然数n0取得充分大，便有1100nε。取xSn00∈，则β与x0的整数部分及前n0位小数是相同的，所以0x−β≤1100nε，即x0εβ−，即任何小于β的数εβ−不是数集S的上界。同理可证非空有下界的数集必有下确界。证毕关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理：定理2.1.2非空有界数集的上（下）确界是唯一的。关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理：定理2.1.2非空有界数集的上（下）确界是唯一的。确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。有理数集合Q在数轴上有“空隙”，它就不具备实数集合R所具有的“确界存在定理”，也就是说：Q内有上（下）界的集合T未必在Q内有它的上（下）确界。例2.1.3设}20|{2∈=xxxxT，并且Q，证明T在Q内没有上确界。证略。关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理：定理2.1.2非空有界数集的上（下）确界是唯一的。确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。有理数集合Q在数轴上有“空隙”，它就不具备实数集合R所具有的“确界存在定理”，也就是说：Q内有上（下）界的集合T未必在Q内有它的上（下）确界。