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微元法我们先回忆一下求曲边梯形面积S的步骤：对区间[,]ab作划分axxxxbn==012，然后在小区间],[1iixx−中任取点iξ，并记1−−=Δiiixxx，这样就得到了小曲边梯形面积的近似值iiixfSΔ≈Δ)(ξ。最后，将所有的小曲边梯形面积的近似值相加，再取极限，就得到∑=→Δ=niiixfS10)(limξλ∫=badxxf)(。§5微积分实际应用举例对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点xi−1和xi分别记为x和xx+Δ，将区间],[xxxΔ+上的小曲边梯形的面积记为SΔ，并取xi=ξ，于是就有xxfSΔ≈Δ)(。然后令Δx→0，这相当于对自变量作微分，这样Δx变成dx，SΔ变成dS，于是上面的近似等式就变为微分形式下的严格等式dSfxdx=()。最后，把对小曲边梯形面积的近似值进行相加，再取极限的过程视作对微分形式dxxfdS)(=在区间[,]ab上求定积分，就得到∫=badxxfS)(。根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下的步骤xxfSxxxΔ≈Δ⎯⎯→⎯Δ+⎯⎯→⎯)(],[规律科学分割自变量∫=⎯⎯→⎯=⎯⎯→⎯badxxfSdxxfdS)()(积分直接微分转为来直接求解。了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始就将小区间形式地取为],[dxxx+（dx称为x的微元），然后根据实际问题得出微分形式dxxfdS)(=（dS称为S的微元），再在区间],[ba上求积分。也就是∫=⎯→⎯=⎯→⎯badxxfSdxxfdSdx)()(。这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非常方便，在解决实际问题中应用得极为广泛，如§4中计算曲线的弧长、几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出，下面我们举一些其它类型的例子。由静态分布求总量我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为l的直线段上分布着某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在x轴的正半轴上，使它的一头与原点重合，若它在x处的密度（称为线密度）可由某个连续的分布函数ρ()x表示(xl∈[,]0)，由微元法，它在],[dxxx+上的物理量dQ为dQxdx=ρ()，对等式两边在[,]0l上积分，就得到由分布函数求总量的公式Qxdxl=∫ρ()0。例7.5.1如图7.5.1的一根金属棒，其密度分布为)kg/m(632)(2++=xxxρ，求这根金属棒的质量M。解∫++=602)632(dxxxM)kg(234623326023=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xxx。06x图7.5.1这个问题可以作以下的推广：⑴假定物理量分布在一个平面区域上，x的变化范围为区间[,]ab。如果过x（bxa≤≤）点并且垂直于x轴的直线与该平面区域之交上的物理量的密度可以用)(xf表示，或者说该平面区域在横坐标位于],[dxxx+中的部分上的物理量可以表示为dxxf)(，那么由类似的讨论，可以得到这个区域上的总物理量为Qfxdxab=∫()。例7.5.1如图7.5.1的一根金属棒，其密度分布为)kg/m(632)(2++=xxxρ，求这根金属棒的质量M。解∫++=602)632(dxxxM)kg(234623326023=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xxx。06x图7.5.1例7.5.2求圆心在水下10m，半径为1m的竖直放置的圆形铁片（图7.5.2）所受到的水压力。解由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的压强为ghpρ⋅=，这里，ρ是液体的密度，g是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅垂线方向向下为x轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为x+10处(−≤≤11x)受到的压强为()10+xg，在圆铁片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的一条带域，则带域的面积为dxxdS212−=，所以带域上所受到的压力为dxxxgdF)10(122+⋅−=，于是铁片所受到的水压力为gdxxxgFπ10)10(12112=+⋅−=∫−（N）。这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§4的第三部分给出了求三维空间中夹在平面xa=和xb=之间的几何体的体积公式：设过x点且与x轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为Ax()，则几何体的体积为VAxdxab=∫()。此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数)(xA是截面的面积。⑵假定物理量是分布在一条平面曲线xxtyyttTT==⎧⎨⎩∈(),(),[,]12上，分布函数（即物理量的密度）为ft()，在((),())xtyt处截取一段长度为dl的弧，那么在这段弧上的物理量dQ为dltfdQ)(=。利用弧长的微分公式，dQftdl==()ftxtytdt()()()′+′22，关于t在[,]TT12上积分，就得到QftdlftxtytdtTTTT==′+′∫∫()()()()121222。这个结论可以推广到空间曲线的情况。例7.5.3设上半个金属环222Ryx=+（0≥y）上任一点处的电荷线密度等于该点到y轴的距离的平方，求环上的总电量。解将金属环的方程写成参数形式xRtyRtt==⎧⎨⎩∈cos,sin,[,]0π，于是dl=′+′=xtytdtRdt()()22。分布函数ftxtRt()[()]cos==222，因此dQftdl==()Rtdt32cos，所以环上的总电量为QRtdtR==∫32032cosππ。⑶这种类型的问题远非只局限于物理学的范畴，无论是自然科学还是社会科学中，但凡给出的是某变量的分布“密度”（比如，人口问题中的人口出生密度、交通问题中的车流密度等等）而需要求总量的，都可以用上述的思路求解。求动态效应除了上述这些静态的物理量之外，还有一类物理量是通过运动而产生的，或者说是另一个物理量持续作用的效果。比如，“位移”是速度作用了一段时间的结果；“功”是力作用了一段距离的结果，等等。在§1中已经知道，以速度vt()做变速运动的物体在[,]TT12走过的路程为SvtdtTT=∫()12，这可以用微元法来理解：在小区间],[dttt+上速度可近似地看作是vt()，因此走过的一小段路程为dSvtdt=()，两边求积分，就得到了前面的结果。这样的思路可以运用到所有这类问题中去。例7.5.4一个内半径为R的圆柱形汽缸，点火后于时刻t0到t1将活塞从xa=处推至xb=处（t0与t1非常接近），求它在这段时间中的平均功率。解由于t0与t1非常接近，可以认为在这段时间内汽缸中的温度没有变化，由物理学定律，汽缸中气体的压强p与体积V成反比，即pCV=，C是点火瞬间汽缸中气体的压强p0与体积aS的乘积(S为活塞的截面积πR2)。所以当活塞在x处时，作用在活塞上的压力为xCSSxCSVCSpF===⋅=，利用微元法，活塞移动dx距离所做的功可表示为dxxCFdxdW==，于是，所求的平均功率为NWTCttdxxab==−∫10=−apSttba010ln。xab图7.5.3简单数学模型和求解要用数学技术去解决实际问题，首先必须建立数学模型。由于最重要的数学建模工具是微分，而微分与积分互为逆运算，所以积分便理所当然地成为求解数学模型的有力手段。将微分与积分结合起来，就可以为许多实际问题建立起相应的数学关系。比如，关于例5.5.9给出的Malthus人口模型⎩⎨⎧==′,)(),()(00ptptptpλ，可以直接对微分等式dppdt=λ的两边在[,]tt0上求积分，这时p的变化范围相应地为[,]pp0，dppdtpptt00∫∫=λ，于是ln()pptt00=−λ，即pptt=−00e()λ。例7.5.5（跟踪问题模型）设A在初始时刻从坐标原点沿y轴正向前进，同时B于[,]a0处开始保持距离a对A进行跟踪（即B的前进方向始终对着A的位置，并与A始终保持距离a），求B的运动轨迹。解设B的运动轨迹为yyx=()利用跟踪的要求，可以得到数学模型⎪⎩⎪⎨⎧=−−=′,0)(,22ayxxay两边求定积分dyaxxdxyax022∫∫=−−，即得到B的运动轨迹方程为yaaaxxax=+−−−ln2222。这也可以看成一个重物B被A用一根长度为a的绳子拖着走时留下的轨迹，所以该曲线又被称为曳线。axyBA0例7.5.6（火箭飞行的运动规律）火箭是靠将燃料变成气体向后喷射，即甩去一部分质量来得到前进的动力的。设在时刻t火箭的总质量为)(tM，速度为vt()，从而其动量为)()(tvtM。在从t到dtt+时间段中，有部分燃料以相对于火箭体的常速度u被反向喷射出去，在时刻dtt+火箭质量为)(dttM+，速度为)(dttv+，相应地，喷射掉的燃料质量为)()(dttMtM+−，而其速度为udttv−+)(，且此时系统的动量等于火箭剩余部分的动量与燃料的动量之和。t时刻t+dt时刻M(t)−M(t+dt)M(t)M(t+dt)v(t)v(t+dt)v(t+dt)−u图7.5.6因此在时间段],[dttt+中，系统动量的改变量为{})()(])()][()([)()(tvtMudttvdttMtMdttvdttM−−++−+++()[()()][()()]MtvtdtvtMtdtMtu=+−++−()()()MtvtdtuMtdt′′=+。再由冲量定律：动量的改变量等于力与作用时间的乘积，即冲量Fdt，这样，就得到火箭运动的微分方程为MdvdtFudMdt=−，这里F是作用于火箭系统的外力，Mdvdt称为火箭的反推力。特别地，当火箭在地球表面垂直向上发射时，FMg=−，方程成为dvdtguMdMdtvMM=−−==⎧⎨⎪⎩⎪10000,(),(),两边在[,]0t上积分，′=−−′∫∫∫vtdtgdtuMtMtdtttt()()()000，就得到vtuMMtgt()ln()=−0。例7.5.7（Logistic人口模型）Malthus人口模型的解为pptt=−00e()λ，当t→∞时有pt()→∞，这显然是荒谬的，因为人口的数量增加到一定程度后，自然资源和环境条件就会对人口的继续增长起限制作用，并且限制的力度随人口的增加而越来越强。也就是说，在任何一个给定的环境和资源条件下，人口的增长不可能是无限的，它必定有一个上界pmax。荷兰生物数学家Verhulst认为，人口的增长速率应随着pt()接近pmax而越来越小，他提出了一个修正的人口模型⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=′,)(),()(1)(00maxptptpptptpλ将含有p的项全部集中到左边，两边在[,]tt0上积分，dpppppdtppttmaxmax⋅−=∫∫200λ，利用有理函数的积分公式，即可解出())(max00maxe11ttpppp−−−+=λ。在这模型中，当t→∞时有ptp()max→。美国和法国都曾用这个模型预测过人口，结果是令人满意的。从Kepler行星运动定律到万有引力定律最后，我们用Kepler的行星运动三大定律、Newton第二运动定律再加上微积分来导出万有引力定律，以作为本节的结束。对任意一个确定的行星，由Kepler第一定律，以太阳（即椭圆的一个焦点）为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为rpe=−1cosθ，这里pba=2是焦参数，eba=−122是离心率，ab和分别是椭圆的半长轴和半短轴。设在时刻t行星与太阳的距离为rrt=()，它们的连线与极轴的夹角为θθ=()t，则行星的坐标可以用向量记号表示成r=(cos,sin)rrθθ。记dA是极径转过角度θd所扫过的那块椭圆的面积（阴影部分），由极坐标下的面积公式dAθdr221=，由Kepler第二定律，单位时间中扫过的面积dAdtr==122ω常数，这里ω=ddtθ表示行星运动的角速度。记行星绕太阳运行一周的时间为T，则经过T时间极径所扫过的面积恰为整个椭圆的面积πab，即πab==∫dAdtdtrTT0212ω，因此常数rabT22ωπ=，两边求导后得到()rrrr2220ωωω′=+=，即20rrωω+=。这里记行星沿极径方向的速度和加速度分别为drdtr≡和drdtr22≡（称为径向速度和径向加速度），角加速度为dd