复旦数学物理方法讲义02复变函数积分

Chapter2复变函数积分Abstract:DerivationtheCauchytheoremandCauchyformulabasedonthepropertiesoftheintegralsofcomplexvariablefunctions.一、复变函数积分(Integralsofcomplexvariablefunctions)1．定义：设l是复平面C上的一条可求长的有向曲线，函数)(zf在l上有定义，沿l取分点bzzzzaznn,,,,,1210，从kkzz1的一小段上任取一点k，作和数nkkknkkkkzfzzf111，如果当弧段1kkzz（nk,,2,1）的最大长度0时，此和数的极限存在，且与kz和k的选取无关，那么这个极限值称为)(zf沿曲线l的积分，记作nkkkzlzfzzfk10maxlimd)(.*)一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合llllyuxviyvxuiyxivuzzf)dd()dd()d()(d)(.因此，根据实变函数线积分的知识，可以知道，如果l是分段光滑的，)(zf在l上连续，复变函数积分一定存在。**)可以把)(zf沿曲线l的积分化为关于参数t的积分[参数方程：)(tz]，即()d[()]'()d,lfzzfttt其中(,)由曲线端点(,)ab的参数值确定。2．性质：(1)若nllll21，则nkllkzzfzzf1d)(d)(.(2)llzzfzzfd)(d)(，其中l表示l的逆向。(3)lllzzfczzfczzfczfcd)(d)(d)()(22112211.(4)lllMLlzfzzfzzfd)(d)(d)(，其中M是)(zf的上界，L是曲线l的长。例1．求lzzdRe，l为：(i)沿实轴由10，再平行于虚轴i211；(ii)沿虚轴由i20，再平行于实轴ii212；(iii)沿直线由i210.解：令iyxz，则),(Reyxuxz，0),(yxv，yixzddd.对于(i)，iyixxyxixxzzlll221d1ddddRe201021.对于(ii)，21dd0dddRe102043xxyixxyxizzlll.对于(iii)，xy2,iyyixxyxixxzzlll21d2ddddRe201055.虽然积分的起末点相同，但三种结果不同，这是由于()fzx不是解析函数。例2．lzzd，其中l以10z为起点，11z为终点，路径为：(i)直线段；(ii)上半单位圆周；(iii)下半单位圆周。（练习）解：(i)l的参数方程为：xz，1,1x，所以xzdd，则1d2dd1011xxxxzzl.(ii)l的参数方程为：iez，,0，所以ddiiez，则2didid000iiiileeeezz.(iii)l的参数方程为：iez，0,，所以ddiiez，则2didid000iiiileeeezz.例3．计算积分lzzzId，其中l为实圆环21z的上半部分的边界，方向为环形区域的正方向(靠右行)。解：112210221033dd2ddd2d2121111334.3llclciiiiiiiizzIzzzzxexexiexiexexeee咋看起来2()izfzez在D内解析，应该有()d0Cfzz.其实不然，cos2sin2fi，仅仅依赖于而非依赖于：120cos2uv，120sin2vu非解析。例4．计算积分1dnnCIzza，（),2,1n，其中C是以点a为圆心，r为半径的圆，积分方向为逆时针方向。解：曲线C的参数方程为：ireaz)20(.(1)221002n111iddd0n2,3ininnninnCieIzirererza,这个积分与半径r及常点a的位置无关，并且必须在复平面上，其实1dln()|2cczIzaiza是个纯虚数。二、科希定理（CauchyTheorem）上节讲述的是一般复变函数积分（主要是例子）。一般来说，它们的值不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关，还与该曲线段的具体形状有关。在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的)(zf能使积分lzzfd)(与曲线段l的具体形状无关——这正是解析函数。Cauchy定理正是研究这类函数的有力工具（是基础，非目标）。单连通区域：对于区域D，如果D内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中，曲线上的所有点都在D内，则称D为单通区域。复连通区域：在单通区域内挖去所有奇点（可以是几个点、几条线、几个区域）而组成的区域。境界线走向：沿境界线行走，区域总在左边的走向规定（定义）为正向。1.单连通区域的Cauchy定理：如果)(zf在闭单连通域D中解析，则沿D中任何一个分段光滑的闭曲线l，有0d)(lzzf.证明：为简单起见，下面在更强的条件下证明这个定理。附加条件是)(zf在D中连续（其实，后面会看到，只要)(zf在D中解析，即)(zf存在，则)(zf也存在，因而)(zf连续），即四个偏导数yvxvyuxu,,,连续。在此条件下可以应用Green公式（*）SlyxyPxQyyxQxyxPddd),(d),(于复变函数积分，有()d()d()(dd)(dd)dddd.llllSSfzzuivxiyuxvyivxuyvuuvxyixyxyxy根据Cauchy-Riemann条件，马上得到0d)(lzzf.注意（*）：21()21()12dddd[(,()(,())]d(,()d(,()d(,)d.yxbbyySayxabalabPxyxPyPxyxPxyxxPxyxxPxyxxPxyx由于Green公式的要求，这里所说的单连通区域只能是一个有界域，即，不能是包含点在内的（无界）域。以后我们会看到，即使)(zf在点解析，它绕点一周的积分也可以并不为0。推论一：如果)(zf在闭单连通域D中解析，则复变积分lzzfd)(与路径无关。或者说，只要保持两端点固定，积分曲线可以在区域内连续变形而积分值不变。2.复连通区域的Cauchy定理：如果)(zf是闭复连通域D中的单值解析函数（需要做手脚！），则有0d)(1nklkzzf，其中),,2,1(nklk是D的全部境界线（正方向）。证明：（略）推论二：对于闭复连通域上的单值解析函数，沿外境界线逆时针方向的积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和。1()d()d.knllkfzzfzz推论三：设)(zf是闭区域（单连通或复连通）D上的解析函数，对于D内的一条闭曲线l，当它在D内连续变形时积分值lzzfd)(始终保持不变（但是奇点区不能穿过，也只能绕过一次！）。一个常用结果：21d0otherwisennCinIzaz，其中，a在曲线C内。当,2,1,0n，naz)(在全平面解析，由CauchyTheorem，0nI，对于,2,1n，naz)(在az点不解析，由推论三，我们总可以把围绕a的任一闭曲线C变为以a为圆心的圆周，然后利用前面例题的结果。例1．如果函数)(zf在Raz0环域内解析，且Azfazaz)()(lim(这个数值类似于、但不是留数,Residue)，则iAzzfC2d，曲线C为D内绕a点的闭曲线。证明：izazC2d1.2020d2dd()()d()()d()()d()()d.CzarCzarzarAfzziAfzzzzazafzAzzazafzAzzazafzArrzafzAAzfazaz)()(lim，即，任给0，存在0，使得az时，有Azfaz)()(.（解析函数一致性定理！）所以20d2()()d20CfzziAzafzA.因此，iAzzfC2d.只要lim()/().zafzAza例2（X）．设C为不经过与的正向简单闭路，为不等于零的任何复数，试就C与，的位置关系，计算CzzI22d.解：zzz1121122.因为C不经过与，故C与，的位置关系有四种可能：（1）与同时位于C的外部，0I；（2）位于C的内部，位于C的外部，iizzzzzzICCC0221dd21d22;（3）位于C的内部，位于C的外部，iizzzzzzICCC2021dd21d22;（4）与同时位于C的内部，由推论二，有0ddd222222iizzzzzzICCC.三、（X）解析函数不定积分(Indefineintegrals)定理：设)(zf是单连通域D内的解析函数，0z是D内的一个定点，在D内定义函数，zzfzF0d)()(，则)(zF也是D内的解析函数，且)()(zfzF，同时，对D内的任意两点1z和2z，有)()(d)(1221zFzFfzz.证明：为了证明)(zF是解析的，只需要直接求出它的导数就可以了。设z是D内一点,zz是它的邻点，则zzfzF0d)()(，zzzfzzF0d)()(，因为积分与路径无关，所以，zzzfzzzFzzFzFd)(1)()(，由此可得，1()()d()11()()d()()d.zzzzzzzzzFfzffzzzffzffzzz由于)(zf是解析的，它一定连续，即，对于任给0，存在0，使得当z时，)()(zff，[只要z，同时点落在以z点为中心，z为半径的圆内，就有)()(zff]所以zzzfzF1)(，即得)(lim)(0zfzFzFz.这就证明了)(zF在D内处处可导，是D内的解析函数，并且)()(zfzF.根据原函数的定义：如果)()(zfz，则)(z称为)(zf的原函数。可见)(zF是)(zf的一个原函数。对于给定的一个函数)(zf来讲，原函数不是唯一的。任意两个原函数之间只相差一个常数。这是因为，如果)(1z与)(2z都是)(zf的原函数，则)()(1zfz，)()(2zfz.所以0)()()()()()(2121zfzfzzzz，即Czz)()(21.现在证明)()(d)(1221zFzFfzz.设)(z也是)(zf的一个原函数，那么，CfCzFzzz0d)()()(，显然Cz)(0，于是上式又可写为：)()()()(d)(000zFzFzzfzz.因而，)()(d)(1221zFzFfzz.)(zf的原函数的集合称为)(zf的不定积分，记为zf