复旦数学物理方法讲义04解析延拓 、函数和函数

Chapter4解析延拓函数和函数一、解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性1.零点的定义：设)(zf在a点及其邻域内解析，如果0)(af，则称az为)(zf的零点。设0(),nnnfzcza(),zar若0)(af，则必有，0110mccc，0.mc此时，称az为)(zf的m阶零点。相应地，0)()()()1(afafafm，()()0.mfa零点的阶数都是确定的正整数——在函数的解析区域内，不可能有分数次的零点。2.零点的孤立性：解析函数的零点孤立性定理：设az为)(zf的零点，若)(zf不恒等于0，且在包含az在内的区域内解析，则必能找到圆0za，使在圆内除az外，)(zf无其它零点[在多值非解析函数)()(/1zazzfm中，az虽然为零点，但是又是枝点]。证明：设az为)(zf的m阶零点，则)()(zazzfm，其中)(z解析，且()0.a由)(z在az连续，即，任给0，存在0，使得当az时，()().za不妨取2)(a，由于)()()()(azza，则得，1()()()0.2zaa由此即证得)(zf在az内除az外无其它零点。推论1：设)(zf在D：Raz内解析，若在D内存在)(zf的无穷多个零点nz，且aznnlim，但azn，则)(zf在D内恒为0.证明：)(zf在D内连续，lim()().zafzfa若取az的一个特殊序列，即nz，当然仍有，lim()().nnfzfa而0)(nzf，故0)(af，即az为)(zf的零点，并且是)(zf的非孤立零点（即)(zf零点的极限点）。在)(af的邻域中总存在无穷多个)(zf的零点，根据零点的孤立性原理，必有()0.fz推论2：设)(zf在D：Raz内解析，若在D内存在过a点的一段弧l或含a点的子区域g，在l上或g内0)(zf，则在整个区域D内()0.fz这个推论是显然的，因为在l上或g内总能找到一个以az为极限点的序列nz，且.nza推论3：设)(zf在D内解析，若在D内存在过a点的一段弧l或含a点的子区域g，在l上或g内0)(zf，则在整个区域D内()0.fz（做一些相互交叠的圆，即得）。3.解析函数的唯一性：解析函数的唯一性定理：设在区域D内有两个解析函数)(1zf和)(2zf，且在D内存在一个序列nz，12()().nnfzfz若nz的一个极限点nzaz也落在D内，则在D内12()().fzfz证明：只需考虑)()()(21zfzfzg，由上面的推论一，即可得0)(zg，即12()().fzfz推论1：设)(1zf和)(2zf都在区域D内解析，且在D内的一段弧或一个子区域内相等，则在D内12()().fzfz例如，z2sin，zzcossin2在全平面是解析的，又因为xxxcossin22sin，所以sin22sincos.zzz推论2：设)(1zf和)(2zf都在区域D内解析，且在D内某一点a满足)()(21afaf，,2,1)()()()(21nafafnn，则在D内12()().fzfz由上面的条件可知，至少在a的一个邻域内，)(1zf和)(2zf有相同的Taylor级数表示式，因此在a的这个邻域内，12()().fzfz由推论1，在区域D内，12()().fzfz二、解析延拓1．定义：设函数)(1zf在区域1D内解析，函数)(2zf在区域2D内解析，而在1D与2D的公共区21DD内，)()(21zfzf，则称)(2zf为)(1zf在2D内的解析延拓；反之，)(1zf为)(2zf在1D内的解析延拓。2．用Taylor级数进行解析延拓设101().1kkfzzz1D：1;z在1D内一点，如2iz，我们有1)(121!2nninif0,1,2,.n再构造1210012().!2212nnnnnnifiifzzzni显然它的解析区域2D：51.222iiz在21DD，由推论2，有)()(21zfzf，因此它们互为解析延拓。2211)()()(DzzfDzzfzf，这样)(zf的定义域就扩大为12.DD事实上，01,1kkzzzizinnn11221101，即)(1zf和)(2zf只不过是同一个函数z11在不同区域的表达式。求出无穷级数的和函数是一种最直截了当的方法。*解析延拓并非总能进行。如121)(nnzzf，1z，它在1z的圆周上处处是奇点。3．用函数关系式进行解析延拓--函数01d)(ttexxt0x,函数，或称第二类Euler积分。当,2,1,0n时，!)1(nn(分部积分可得，高等数学知识)。定义复变量z的函数:01d)(ttezzt0Rez,因为被积函数可能是多值的，约定正实轴上：arg0.t可证，)(z在右半平面是解析的，下面我们进行解析延拓。因为，1000(1)dd(),txtxtxxettetxettxx0x又因为)(z在0Rez解析，那么)1(z和)(zz在0Rez也解析。所以，)()1(zzz0Rez，或zzz)1()(0Rez.注意到zz)1(在Re(1)0,(0)zz是解析的，可定义zzz)1()(0,0Re1zz.这样，)(z就从0Rez解析延拓到01Rezz.ThisisalsoaRR.类似的，可将其延拓到整个复平面。一般地，定义)()1()1()1()(nzzznzzzznznzn,,1,0,Re)1(.这样定义的)(z在全平面除,2,1,0z外处处解析，,2,1,0z是它的单极点。在整个复平面满足(1)()(0,1,2,).zzzz函数的性质：1).1)1(;2).21;3).zzzsin)1()(整数z;4).2121(2)().2zzzz5)..2212214．函数（第一类Euler积分）由1011d1),(tttyxyx0,0yx得1011d1),(tttqpqp0Re,0Reqp且约定正实轴上：0argt，arg10.t可以证明函数与函数的关系[见教材第四章p.62式(4.24)的证明]：qpqpqp)()(),(0Re,0Reqp.根据函数的性质，上式在全平面成立（,2,1,0,,2,1,0qp）.下面证明()(1)sinxxx(01)&x2121(2)().2zzzz1()00001()(1)dd()dd,txsxstxtxxettessestst非线性变换:,(0,0)tsts,,11st2221,,1(1)(,),(,)(1),,1(1)sssttt()00001200001100011(,)()dddd(,)11dddd(1)(1)ddd.11sinstxxxxxxtstestesteeex这里分离变量了，最后一步用了教案第五章p.23的留数定理。由第二页的推论1可知，当z整数时zzzsin)1()(仍然成立。取21z得.21考察2/101-z101-z.d)]1([2d)]1([),(B)2()()(ttttttzzzzz令1(1)2t得.)2/1()2/1()(2)21,(B2d)1(2)2()()(2-12-1101/2-1-z2-1zzzzzzzzz利用21即得2121(2)().2zzzzHomework:4.2