复旦数学物理方法讲义05定积分计算

Chapter5定积分计算Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值一、留数定理和留数的求法(Residuetheoremandresiduecalculations)1．留数的定义：设0z是函数)(zf的孤立奇点(isolatedsingularity)，即除过0zz点以外函数)(zf是解析的，则)(zf在0z的留数定义为01Res()d2cfzfzzi，其中c为绕0z的闭曲线（c积分沿正方向进行）且内部无其它奇点，记号为0)(Reszzzf或)(Res0zf.（1）有限远孤立奇点的留数：)(zf在0z邻域)0(0rzz内（不含其它奇点）的罗朗级数（Laurentseries）展开的1次幂项10)(zz的系数1a称为)(zf在奇点0z的留数。即011Res()d2cfzfzzai.此定义基于如下的事实：kkkzzazf0)(，其中101()d2()kkcfzazizz.令函数)(zf沿以孤立奇点0z为中心的一个圆周c积分kckkckkkczzzazzzazzfddd)(00，而02(1)d0(1),kcikzzzk所以1()d2cfzzia.可见，级数中仅仅101zza项对积分有贡献，积分后唯有1a这个系数留下来，故名之为留数(residue).（2）无穷远点的留数：)(zf在以00z为中心，环zR内（不含其它奇点）的罗朗级数展开的1次幂项10)(zz的系数1a的反号称为)(zf在点的留数。即11Res()d2cffzzai（此定义直观）。这是因为：对于无穷远点，以z为展开中心、在区域zR里展开的罗朗级数与以00z为中心、在区域zR展开的罗朗级数有相同的形式:().kkkfzaz换言之，以00z为中心、在区域Rzb展开罗朗级数亦可，其中b任意（实际为z的邻域）。(Chapter1:无穷远点只有一个，其模，而幅角不定)。同时注意到，对无穷远点的邻域来讲,Rc的正方向为顺时针方向。因此，1()dddd2.clockwiseclockwiseclockwisecounterclockwiseRRRRkkkkkkccckkkcfzzazzazzazzia2．留数定理：如果)(zf在区域D中有n个孤立奇点nzzz,,,21，而除了这些奇点外，)(zf是解析的，那么其中nccc,,,21分别是围绕奇点nzzz,,,21的小圆周(反方向,与外界l同方向)，再根据复连通域的柯西定理（Cauchy’stheorem），可以得到11()d()d2Res()knnkkklcfzzfzzifz,l是区域D的外境界线，也可以是境界线之内的任一条闭合曲线，只要它包围n个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。[留数定理]：如果函数)(zf在闭曲线l所围的区域内，除具有有限个孤立奇点(isolatedsingularities)(1,2,,)kzzkn外是解析的，在l上也是解析的，则)(zf沿l的回路积分（逆时针方向）等于)(zf在l内所有奇点的留数之和的2i倍，即1()d2Res().nklkfzzifz12121()d()d()d2Res()Res()Res()2Res(),ncccnnkkfzzfzzfzzifzfzfzifz2．留数定理的推论：若)(zf在闭复平面内(包括无穷远点)除有限个孤立奇点外处处解析，则)(zf在全平面上全部留数之和为零（挖去所有奇点并且计及无穷远点）：1()Res()Res()Res()0.knkkzfzfzf说明：*留数定理表明了解析函数沿闭曲线的积分与它的孤立奇点之间的关系，体现了解析点与奇点的内在联系。这是解析函数在不同点取值之间的相互关联这个性质的又一表现，即它是单(复)通域Cauchy定理的推广(变形)。**Laurentseries的负幂次由有限内环r内的奇异性引起，其积分方向为;rLaurentseries的正幂次由有限内环r以外(即外环R以外甚至直接至)的奇异性引起，其积分方向为R.***z可以是函数)(zf的奇点亦可以不是奇点，只要存在1,a它就是无穷远点的留数Res().f3．留数的求法（Residuecalculations）(定义是定义，定理是定理，计算留数是另一回事)。(1)罗朗级数法:一般地，对于本性奇点，例如)(zf中含指数函数、三角函数（,sin,zez）等，虽然极点是高阶的，罗朗级数展开有无穷多项，但是我们仅仅需要与1a相关的项即可，这样往往比较简单。(2)可去奇点：若b是)(zf的可去奇点(b),lim()zbfz有限,则Res()0.fb注意：即使点是)(zf的可去奇点，其留数也不一定为0，除非)(zf在一切有限远点的留数之和为0.例如，zzf/11)(,1)(Resf,1)0(Resf.(3)高阶极点(Multiplepole，highorderpole)：若b是)(zf的m)1(m阶极点，即)0()(mmkkkabzazf，则zfbzzmbfmmmbz11ddlim!11)(Res.[证明]:如果bz是)(zf的m阶极点，则在这点的邻域内罗朗级数是)0()(11mmkkkmmmmabzabzabzazf,111(),mmmmzbfzaazbazb111111dd()dd12.mmmkmkmmkmkkkzbfzazbzzkmkmkazb取极限bz后右端只留下1k项，即1!1am.所以zfbzzmabfmmmbz111ddlim!11)(Res.(4)单阶极点(Simplepole):当1m时,b为单极点zfbzbfbzlim)(Res.特别地，如果)(zf可以写成)()(zQzP的形式，其中()Pz和()Qz均在b点解析，而且zb为()Qz的一阶零点，即()0,Qz'()0,()0,QzPz那么)(')()()()(lim)()(limlim)(ResbQbPbzbQzQzPzQzPbzzfbzbfbzbzbz.（5）根据定义：1Res()d2cfbfzzi，其中c为绕bz一圈的闭曲线且其内部无其它奇点，积分c沿正(沿奇点的反)方向进行。5.例题（Examples）Example1.求函数zezfz1)(1在0z，1z，z点的留数。[解]0,1,z分别是本性奇点，一阶奇点和一阶零点。法一（ExpandtotheLaurentseries）：①0z是)(zf的本性奇点，因此，将)(zf在0z的邻域作罗朗级数展开232311111()112!3!1111,2!3!fzzzzzzzz1!31!211)0(Resef.01[and1]!znnezzn②设10(1)nznnecz并且0ce（其余的nc虽然复杂，但是我们用不到），则101()(1).11znnnefzczzz故10Res(1).face③Res(0)Res(1)Res()0fff（全复平面留数之和为零）。Res()1.f法二（Formula）：①1z是)(zf的一阶极点，因此11Res(1)lim1.1zzefzez②将)(zf在z的邻域作罗朗级数展开1/232311()11/111111111112!3!1(1),zfzezzzzzzzzzz1)1()(Resf.Example2.求函数51)(zezfz在1z点的留数。[解一]2341555111()11,2!3!4!111zzzzzeeeefzzzzzRes(1).4!24eef[解二]1z是)(zf的五阶极点，因此51455514111d1dRes(1)lim1lim.51!d4!d241zzzzeeefzzzz（X）Example3.求函数3211)(zzf在zi点的留数。[解]21()(),zzizizi是)(zf的三阶极点，因此223332221d11d13Res()lim.2!d2d161ziziifizizzziz（X）Example4.求函数3sin2()1zfzz的留数。[解]1z是)(zf的三阶极点，z是本性奇点，因此21211dRes(1)limsin22sin2|2sin2.2!dzzfzzzRes()2sin2.f（X）Example5.求函数zzfsin1)(在nz(n为整数)的留数。[解一]nz是)(zf的单极点，因此'1Res()limlim1.sinsin'nznznznfnznzz[解二]11Res()1.sin'cosnznznfnzzExample6.Findtheresidueof41/sinzzatzi.[解一]zi是)(zf的单极点，因此42i11sinsinsinRes()limlim141z1sinh(1).(2)(4)84zzizzifizizizieeeeii[解二]334sinsinsin1Res()sinh(1).4441zizizzifizizExample7.求函数2()1imzefzz(实常数0m)的留数。[解]iz是)(zf的一阶极点，z是本性奇点（高振荡），因此Res();Res();22imzmimzmzizieeeefifiziiziiRes()[Res()Res()]()sinh.2mmiffifieeim(X)Example8.求函数222(1)()()()zfzzzz(1,)的留数。[解],z是)(zf的一阶极点，0z是二阶极点，()1f解析，因此2222222(1)(1)(1/)Res();()()zzfzz222(1)Res();()zzfzzRes(0)f是2()zfz在0z附近Taylor展式中的一次项1az的系数1:a22222222222(1)(1)11()()()(1)11(1)1111(1)(1).zzzfzzzzzzzzzz22111Res(0);f(放心取22(1)z项0).zRes()[Res()Res()Res(0)]().ffff二、留数定理在定积分计算中