复旦数学物理方法讲义07Fourier Transforms

Chapter7FourierTransformsAbstracts：复习Fourier级数，讲解FourierTransforms的定义、性质和物理意义(例题)；介绍多重FourierTransforms.应用：求解常微分方程；坐标—动量和时间—能量空间具有丰富的物理；为求解偏微分方程的定解问题做准备。一、FourierSeries1.Fourier级数的定义(动机:自然界中存在周期函数,其频谱分析可揭示物理规律。)定义：设函数)(tf的周期为T，则下述级数称为)(tf的Fourier级数，102sin2cos~)(nnntTnbtTnaatf，其中，12121212121201()d22()cosd1,2,3,22()sind1,2,3,.TTTnTTnTafttTnaftttnTTnbftttnTT引入圆频率T20（如果t是时间空间的变量），上式可改写为1000sincos~)(nnntnbtnaatf其中，1212121212120001()d2()cosd1,2,3,2()sind1,2,3,.TTTnTTnTafttTaftnttnTbftnttnTFourier级数的收敛性[狄里希莱条件(Dirichletconditions)]：对于周期为T的函数)(tf，若它满足：（1）连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点*；（2）在每个周期中只有有限个极值(即每一个部分的小区间内单调)，则其Fourier级数收敛，并且01()22cossin(0)(0).2nnnfttnnaatbtftftTTt在连续点在间断点*第一类间断点:在此点0tt函数)(tf不连续，但左极限)(lim00tftt和右极限)(lim00tftt均存在且有限，所以可积。Fourier级数的物理意义：任何周期信号必可分解为直流成分与基波和各高次谐波的交流成分之和，它们的振幅分别为22nnba（SeeChapter10.3分离变量法&本征值问题）.因此，傅里叶级数又成为傅里叶频谱分析(Spectrumanalysis).2.Fourier级数的复数形式(简洁)：利用ieetntintin2sin000和2cos000tintineetn得00()[(()),]intitnnnnnftcefztczze[discretefrequencies:0,(0,1,2,,quantumnumbers)nnn],其中，120121()dTintnTcftetT,),2,1,0(n.00ac，2nnnibac，2nnnibac.各次谐波的振幅为nc2.3.有限区间非周期函数的Fourier展开（实际体系都有限非周期）：对有限区间的非周期函数，总可以通过延拓来构造周期函数，然后作傅里叶展开（即拷贝不走样）。设函数)(xf在坐标空间的区间,xll上满足Dirichlet条件，则)(xf的Fourier级数为，10sincos)(nnnxlnbxlnaaxf，lxl其中，01()d21()cosd1,2,3,1()sind1,2,3,,lllnllnlafxxlnafxxxnllnbfxxxnll其复数形式为：()nixlnnfxcelxl，1()d2nixllnlcfxexl),2,1,0(n.注意：这时的Fourier级数只在区间llx,内有意义，例如：1()().2nxilnxelxll这种延拓在相互作用体系中要改变物理性质(PCsaredifferentwithDCs.)。4.正交完备函数集：在区间bax,上不恒为零的函数系),(),(),(321xxx，若()()d0bmnaxxxnm；又若对于bax,上的任意平方可积函数(squareintegrablefunction))(xf，完整性方程*均成立，则称)(xn为区间bax,上的正交完备归一集(Asetoforthogonalcompletenormalizedfunctionbases).*如果对于bax,上的平方可积函数)(xf，总有kkkxcxf)()(，并且22222()d()()d|||()|dbbbskskkkkkaaaskkkfxxccxxxcxxcN成为完整性方程（称巴塞瓦等式）,22|()|dbkkaNxx为)(xk的积分模方。注:(1)正交性与区间bax,有关。完备性：这些基矢一个不能多、一个不能少。(2)在复数函数集中，积分应理解为()()d,bmnmnaxxxwhereasetoforthogonalcompletenormalizedfunctionbasesare()()/.kkkxxN(3)同一定义域的()fx可以以()kx表示：kkkxcxf)()(，其值为kc(representationtheory).(4)对于1D无界空间区域(seebelow)，连续波矢k的本征函数为平面波1(),2ikxkxeitsorthogonalcompletenormalizedrelationis(')'11()()dd(')(').2ikkxkkxxxexkkpp(5)Howtofind()nxinageneralizedapproach?SeeChapter10.6,S-Leigenvalueproblem(Sturm-Liouville型方程的本征值问题).例如1：,2cos,2sin,,4cos,4sin,2cos,2sin,1tTntTntTtTtTtT在区间1122,tTT上是正交完备函数集。正交性：1212()()d0,TTgthtt)()(thtg和是上面集合中的任意两个不同函数。平方可积性：121222221021()d2.TkkTkfttTaab模方（归一性）：121212122212d,()1;|()|d()1TTkTTtTgtNgttTgt，是除之外的其它函数。例如2：xlnie),2,1,0(n在区间,xll上是正交完备集。例如3：0inte),2,1,0(n在区间00/,/t上是正交完备集。5.多重傅里叶级数：二元函数),(21ttf在11111112222222,TtTTtT内的傅里叶级数为010212(,)imtntmnmnfttce，其中，11122201021112221212121(,)ddTTimtntmnTTcfttettTT(,0,1,2,)mn，001222,TT.二、Fourier积分与Fourier变换Weconsideraninteraction-freeparticlewithinthequantummechanics.Fortheparticleisconfinedinthefinitespacerangeof[,]xab,thereisthediscretevariables{}n,andthewavefunctionis().nxInthatcase,weneedtoadopttheFourierseries.Butintheinfinitespacerangeof[,],xthereisthecontinuevariables[,],kandthewavefunctionistheplanewave()ikxkxe(seebelow).WeneedtolearntheFouriertransforms.对,t上的非周期函数)(tf，不能展成Fourier级数，但是我们可以把它看成是周期为T的函数当T时的极限。周期为T的函数的Fourier级数为：(),nitnnftce其中，12121()dnTitnTcftetT，而Tnnn20，Tnn21.因此，可以把nc改写为112211221()d()d2nnTTitinTTcftetfeT，代入)(tf的表达式，得112211221()()d()d22nnnTTitiitTTnnftfeefe.当T时，02T，2nnT(continuedspectrum)，()()d.n因此，1()()dd211()dd.22itiitftfefee令tetfefftiid)(21d)(21)(~,则d)(~21)(tieftf.1.Fourier积分定理：若函数)(tf在区间,t上满足:（1）)(tf在任一有限区间上满足Dirichlet条件；（2）)(tf在,t上绝对可积[即ttfd)(收敛、有限或者lim()0tft]，则)(tf可表示成Fourier积分，且Fourier积分值等于2/)0()0(tftf.即1()()d;21()()d.2ititftfefftet上面一对等式上方的积分称为Fourier积分，其中)(~f由下方等式决定。)(~f称为)(tf的Fourier变换，记为：)(~)(ftf，)(tf和)(~f分别称为原函数和象函数。当t是时间变量时，则是频率。'(')111()[(')d']d(')[d]d'222(')(')d'().itititftfeetfetff当在坐标变量x和动量(波数k)之间变换时，则习惯采用下面的变换：1()()d;21()()d.2ikxikxfxfkekfkfxex)(~)(kfxf.Remarks1：lim()0tft由Jordan引理决定。当z)0Im,arg0(zz即时,0)(zf(此限制条件为一致地趋于0),则0d)(limzezfimzCRR)0(m实常数，其中RC是以原点为圆心，半径为R的上半圆周,即e(0).izRRemarks2：ttfd)(有限的要求可以推广，即'()itfte除外。这是因为对于连续谱的平面波，其“归一化”系数为(')函数：(')d2(').itet2.Fourier变换的基本性质：[)(~)(kfxf为例]（1）线性定理：)(~)(~)()(22112211kfckfcxfcxfc，（12cc,是复常数）（2）相似定理：1()kfaxfaa0a，scaling证明：1111()()d()d22kiikxakfaxfaxexfefaaa.（3）求导定理：若()()0,(0,1,2,,1)mxfxmn，则()()