复旦数学物理方法讲义08线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数

Chapter8线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数特点：1）过程繁杂乏味,结果简单精彩。2）问题复杂，思路原始。3）想法既笨（非小技巧）又绝顶聪明。4）学思路方法，用时查手册、程序。一、基本概念及通解结构1.二阶线性常微分方程的标准形式)()()()()()(xfxyxqxyxpxy变系数方程，非齐次，其非齐次项)(xf亦称为自由项。0)()()()()(xyxqxyxpxy齐次方程0)()()(00xyqxypxy二阶线性常系数齐次微分方程。对于一般n阶线性齐次常微分方程，可以用算符L作用到函数)(xy上的形式表示：1010dddd,,,,()0ddddnnnnLyxxxxx，L是各阶微商的线性函数，最高阶为n，称为n阶线性微分算符。所谓线性，指算符L中，仅仅包含)(xy的各阶微商（包括零阶）的一次幂项。2.方程的常点和正则奇点（特点：常点非常，奇点更奇）为进行比较普遍的讨论，我们取方程的宗量为复变量。方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是，解的解析性由系数的解析性决定。常点：如果系数函数)(xp和)(xq在0xx点是解析的，则0x点称为二阶线性常微分方程的常点。奇点：如果)(xp和)(xq中的一个（或两个）在0xx点是不解析，则0x点称为二阶线性常微分方程的奇点。正则奇点：如果0xx点为方程的奇点，但在该点函数)(0xpxx和)(20xqxx都是解析的，则0x点称为二阶线性常微分方程的正则奇点（二阶奇点可解，有限阶奇点和本性奇点则不可解或寻找非线性变换）。3.齐次方程的通解结构定理一（迭加原理）：若)(1xy和)(2xy是n阶线性微分方程（共有n个解）1010ddddˆ,,,,()()0ddddnnnnnLyxLyxxxxx的两个解，则)()(21xByxAy也是该方程的解（A和B是两个任意常数）。定理二：若)(1xy和)(2xy是方程2ˆ()()()()()()0yxpxyxqxyxLyx的两个特解，则)(1xy和)(2xy线性无关的充要条件是：它们的朗斯基（Wronski）行列式(数学：Wronsky行列式))()()()(,212121xyxyxyxyyy不为零。这条定理是显而易见的，如果1y和2y是线性相关的，则令0)()(21xByxAy.将其微商便得到方程组002121yByAByAy.当02121yyyy时，有非零的A和B解，此即21//.yyAB反之，当0时，只有平凡解：0BA，此即表示1y和2y是线性无关的（两者的比值是x的函数）。Wronski行列式的性质：i)交换对称性：1221,,.yyyyii）对数连续性：0001212dlogdlog,|0||.dlogdlogxxxxxxyyyyxxiii）线性相关性：1221,0(forall)(const.).yyxycyc如果)(1xy和)(2xy为方程0)()()()()(xyxqxyxpxy的两个线性独立解（称为特解），那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线性组合。因此，对于这个方程来说，)(),(21xyxy是完备系(基本解)，而)()()(21xByxAyxy为通解。有了通解，再根据定解条件：)(0xy和)(0xy,就可以确定常数A和B.定理三：若)(1xy是方程0)()()()()(xyxqxyxpxy的一个特解，则方程的另一个线性无关的特解为（SeeAdv.Math.）xxxpyxyxydd)(exp1)()(2112.[证明]既然)(1xy和)(2xy是方程的解，所以0)()()()()(111xyxqxyxpxy,(1)0)()()()()(222xyxqxyxpxy.(2)由于)(1xy和)(2xy是线性无关的，因此它们的Wronski行列式不为零，即0)(2121yyyyx.21(1)(2)yy，可得0)(12211221yyyyxpyyyy.因此，12211221)(ddyyyyxpyyyyx.此即，)(ddxpx.积分后可得xxpyyxd)(exp,)(21.由于xxpyyxyyyyyyyxd)(exp1)(dd212121122112再积分，即得xxxpyxyxydd)(exp1)()(2112.4.非齐次方程的通解定理四：若)(1xy和)(2xy是方程0)()()()()(xyxqxyxpxy的两个线性无关解，则相应非齐次方程)()()()()()(xfxyxqxyxpxy的一个特解为xxxyxfxyxxxyxfxyxyd)()()()(d)()()()()(21123，其中2121)(yyyyx是Wronski行列式。[证明]设)(3xy为方程)()()()()()(xfxyxqxyxpxy的任一特解，即)()()()()()(333xfxyxqxyxpxy.(3)13(3)()(1)()yxyx得，)()()(113311331xyxfyyyyxpyyyy，即)()()(dd113311331xyxfyyyyxpyyyyx.令131313),()(yyyyyyxQ，则上式变为，)()()()(d)(d1xyxfxQxpxxQ.作代换)()()(xuxxQ，其中2121)(yyyyx，得)()()()()(d)(d)()(d)(d1xyxfxuxxpxxuxxuxx，即)()(d)(d)(1xyxfxxux，[利用了)()(d)(dxxpxx].所以xxxyxfxud)()()()(1.那么xxxyxfxxQd)()()()()(1.由于xxxyxfyxyxQyyyyyyyxd)()()()()(dd1212121133113，再积分，即得xxxxyxfyxxyxydd)()()()()()(12113.用分步积分改写，即得xxxyxfxyxxxyxfxyxxyxxxyxfxyxxxyxfxyxxyxyxxxxyxfxyxyd)()()()(d)()()()(dd)()()()()(d)()()(d)()(d)(dd)()()()()(21122111121121113[其中，我们利用了xxxpyxyxyxxyxydd)(exp1)(d)()()(2112112].二、常点邻域方程的级数解法1.解的存在和唯一性定理：如果系数函数)(xp和)(xq在圆域Rxx0内是解析的，则在此圆域内，方程0)()()()()(xyxqxyxpxy存在唯一的、满足定解条件00)(cxy和10)(cxy的解析解)(xy.既然解是唯一存在的，而且是解析的，则可将其设为以常点0x为展开中心的Taylorseries:00(),nnnyxcxx其中01,cc已知。逐项微分得101'()nnnyxncxx和202''()(1).nnnyxnncxx将这些带入二阶线性常微分方程，就可以确定系数{nc}—这种表示理论的“坐标值”。该幂级数在收敛圆内即为方程0)()()()()(xyxqxyxpxy的解—级数解,其收敛半径是.R2．勒让德方程（Legendre’sequation）0)1(212yllyxyx，（l为常数，l阶Legendre’sequation）.物理上球对称Laplace方程在方向(cos)x，角动量量子数l取零或正整数；当然数学上l还可取其它值；本质上，含参数的微分方程在确定条件下存在本征值问题：本征值以量子数表示，本征函数构成正交、完备、归一集。方程的来源、分离变量和本征值问题等等SeeChapters12and13.第一步：考察方程的性质，即判断展开中心点的奇性。Legendre’sequation的系数函数是212)(xxxp和21)1()(xllxq，它们在0x点都是解析的，即0x是方程的常点。由上面的定理可知，Legendre’sequation的解也是解析的。因此该解可展成以00x为中心的Taylorseries.第二步：把解写成0()nnnyxcx，再求出)(xy和)(xy的级数，代入方程。nnxcxcxcxccy332210,1232132nnxncxcxccy,23212312nnxcnnxccy.第三步：将方程中同次幂项归并，由其系数和为零得出联系nc和2nc的递推公式（RR，其中01,cc已知）。Const.x2x…nx…y212c323c434c…2)1)(2(ncnn…yx2212c…ncnn)1(…yx2112c222c…12nc…yll)1(0)1(cll1)1(cll2)1(cll…ncll)1(…020:21(1)0xcllc，得02121cllc;1311:3221(1)0xccllc，得132321cllc;24222:432122(1)0xcccllc，得024!43123432cllllcllc35333:543223(1)0xcccllc，得135!542134543cllllcllc……2:(2)(1)(1)2(1)0nnnnnxnncnncncllc，得recurrencerelationsnncnnnllnc1212.特别注意：2.nncnlc第四步：由递推公式求出偶次幂项的系数kc2与0c之间以及奇次幂项的系数12kc与1c之间的关系式，于是便得到偶次幂项级数和奇次幂项级数。2222402221221222423212212223222412321.2!kkkkllkcckkklkllklkckkkkklkllllklkck212123121221221232222122122212312222.21!kkkkllkcckkklkllklkckkkkklkllllklkck第五步：写出解的最后形式，确定级数的收敛半径)()()(1100xycxycxy，其中，2012224123211,2!kkklkllllklkyxk2111212312222.21!kkklkllllklkyxxk它们在1x是收敛的，在1x是发散的。3．发散解的处理—Legendrepolynomials可以证明，在1x即当1x时，0()yx和1()yx是发散的。例如，0