复旦数学物理方法讲义09数学物理方程的定解问题

下篇数学物理方程—物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数Chapter9数学物理方程的定解问题Abstracts:1.根据物理问题导出多变量数理方程—偏微分方程；2.给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)和周期条件等，从而与数理方程一起构成定解问题；3.数理方程的线性性导致解的叠加原理;4.非齐次方程的齐次化方案。一、数理方程的来源（状态描述、变化规律）1.翻译I．ClassicalNewtonMechanics[质点力学(,)mrFrt](Newton)，连续体力学2222()()(,)(,)0(31D(,)[(,)(,)]0;v(,)(,)[(,)](,)(,)(Eulereq.).(,)urtaurttrtrtvrttrtprtvrtvrtfrttrt弹性定律基本方程弦弹性体力学杆振动：波动方程);膜流体力学：质量（流）守恒律：热力学物态方程：II.ElectrodynamicMechanics(Maxwellequations);;00;().,,(,)DDElBsEBBBHljDsHjDEuBAuAddddddd满足波动方程。Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。III.StatisticMechanics(Boltzmann-Gibbsstatistics):220;0.TkTtDt热传导方程：扩散方程：特别:稳态（0t）:20(Laplaceequation).IV.QuantumMechanics:Schrdinger’sequation(Schrdinger,Heisenberg,Dirac,Fermi,Einstein)22.2uiuVutm2.分类物理过程方程数学分类振动与波波动方程222210uuat双曲线输运方程20ukut能量：热传导质量：扩散抛物线稳态方程Laplaceequation20u椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：(1)定变量：找出能够表征物理过程的物理量作为未知数（特征量,科学思维上设为已知），并确定影响未知函数的自变量。（2）立假设：抓(取)主要因素，舍（弃）次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理乐趣；大胆假设，小心求证）。（3）取局部：从研究物体内部中找出微小的局部（微元），相对于此局部的一切高阶无穷小量均可忽略---线性化。（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。1．弦的横振动方程（1+1D）[一根张紧(interactionbetweenparticles)的柔软弦的微小横振动问题](1)定变量：取弦的平衡位置为x轴。表征横振动的物理量为各点的横向位移),(txu，故速度为tu和加速度为ttu.(2)立假设：1）弦的横振动是微小的，1，因此，sintan，1cos，又tanux，1xu.2)弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力),(txT始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的弹簧相连—最简单的相互作用！)。3)所有外力都垂直于x轴，外力线密度为),(txF.4)设（细长）弦的线密度为),(tx，重力不计。(3)取局部：在点x处取弦段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质量：xtxd),(.弧长：xxxuuxsdd1ddd222（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度tx,不随时间变化，另外根据Hooke定律Fkx可知，张力),(txT也不随时间变化，我们把它们分别记为x和)(xT.(4)找作用：找出弦段dx所受的力。外力：xtxFd),(，垂直于x轴方向；张力变化：dcos|cos|(d)()xxxTTTxxTx,x方向紧绷，ddsin|sin|||dxxxxxxxxxxTTTuTuTux,垂直于x轴方向。(5)列方程：根据牛顿第二定律0)()d(xTxxT，因x方向无位移，故TxTxxT)()d(.xTuxtxFxTuxtxFxuxxxxxttdd),(dd),(d)(即),(txfuTuxxtt，其中),(),(txFtxf是单位质量所受外力。如果弦是均匀的，即为常数，则可写Ta为弦振动的传播速度，则),(2txfuauxxtt.对于自由运动，即无源0f，这个方程简化为齐次方程：20ttxxuau.在有界实空间的适当边界条件下，通过分离变量和求解本本征值问题，得到与a啊相关的本征值，再与实验频率相比较，即可求得材料的.a怎么运动：源（非齐次）驱动或边界驱动和初始驱动。2．杆的纵振动方程（1+1D）[一根弹性(linearinteractionbetweenparticles)均匀细杆的微小纵振动问题](1)定变量：取细长杆的放置为x轴。表征纵振动的物理量为各点x离开平衡位置的纵向位移),(txu.(2)立假设：1)振动方向与杆的方向一致。2)均匀细杆，同一横界面上各点的质量密度，横截面面积S与杨氏模量Y（应力与应变之比值）都是常量（常数）。3)杆有弹性，服从Hooke定律：应力P与相对伸长成正比，即xtxuYtxP),(),(,其中(,)Pxt:单位横截面上的内力（相互作用），方向沿x轴正方向，但是力(,)FPrtS是沿该截面法向（外向）的。x施给x截面的力（拉力）的方向：ˆx；同理(,)|xxuPxxtSYSx为x中x施给xx截面方向的力（拉力），其方向:ˆx（这种取法类似于紧绷弦的受力分析）。4)外力与杆的方向一致，各点时刻t单位横截面上的外力为),(txF（例如每个弹簧都用绳子牵引着），重力不计。(3)取局部：在点x处取杆微段dx,dx是如此之小，以至可以把它看成质点。质量：xStxd),(.绝对伸长：xxxuuu,相对伸长：xuxu（应力）。(4)找作用：找出杆的这个微段所受的力。外力：xStxFd),(；应力变化：xSYuxSYuSYuSYuxxxxxxxxxddd.(5)列方程：根据牛顿第二定律xSYuxStxFxuSxxttdd),(d即，),(txfuYuxxtt，其中),(),(txFtxf.令Ya为杆振动的传播速度，则),(2txfuauxxtt.自由振动：齐次方程;受迫振动：非齐次方程。注意：杆中应力与相对位移成正比，因而做纵振动；虽然弦中位移u在x轴方向为零，但是粒子之间的相互作用力即张力T使得弦紧绷着，因而做横振动。3．薄膜的横振动方程(不要求)（张紧的柔软膜的微小振动问题）定变量：各点的横向位移),,(tyxu，从而速度为tu，加速度为ttu.立假设：1)膜是柔软的，即在它的横界面内不产生应力，膜上任一点的表面张力),,(tyxT必在过这一点的切平面内。2)膜振动是微小的，张力的仰角1，因此，sintanuuTTTTn.3)所有外力都垂直于0xy面，外力面密度为),,(tyxF.4)膜是均匀的，即，密度为常数。取局部：在点yx,处取一小块模Sd，质量：Stxd),(.找作用：找出膜所受的力。外力：(,,)dFxytS，垂直于0xy面；张力变化：llulnuTlTdd,SuuyxuuyxuxyuxyuyxulyyuxxulynyuxnxulnuyyxxSyyxxllllldddddddd),sin(),sin(d),cos(),cos(d列方程：根据牛顿第二定律SuuTStxFSuyyxxttdd),(d，即),(txfuuTuyyxxtt，其中(,,)(,,)Fxytfxyt.令Ta，则22(,,)ttuaufxyt.应力张量111213212223313233T，其中kl是作用于垂直于k轴的平面上的力，其方向沿l轴，如xx是yz面上沿x轴的力(,1,2,3).kl刚体0JI,转动惯量张量111213212223313233IIIIIIIIII,222123d[()(1)],klklklklImxxxxx221123d()Imxx为对x的转动惯量,12122121ddImxxImxx为惯量积。Review:在上述振动问题中存在弹性力，一来有恢复力,uk二来有加速度,ttu所以是简谐振动的谐波。下面的输运现象是非可逆的，有.tu4．热传导方程(3+1D热传导现象,热传导定律和能量守恒)(1)定变量：点),,(zyx在t时刻的温度为),,,(tzyxu（热量无法直接测量）。(2)立假设：1)已知两个物理量:物质密度),,(zyx—单位体积的质量;比热),,(zyxc—在单位质量中增加单位温度所产生的热量。2)给定物质内部的热源强度),,,(tzyxQ—在单位时间单位体积内产生的热量。例如热核反应或者内部加热。3)物质内部热交换过程遵从Fourier定律（热传导定律）：流过物质内部任意曲面的热流强度（在单位时间内垂直通过单位面积的热量）q与温度梯度成正比，即ukq，其中，0k称为导热系数。q为辅助量。(3)取区域：体积元V，它的边界面为S.(4)找作用：在单位时间内，通过整个S面流入的热量为（*）VqSqVSdd;V中物质产生的热量为VQVd;温度升高所需热量为VtucVd.(5)列方程：由物质内部热交换过程的能量守恒定律，有d()ddVVVucVqVQVt热增（吸热）（热源）.（*）：例如上图中ˆx方向、通过yz截面在t时间内体积元V吸热：||(,)().xxxuqyztqyztqxtVtkVtxxx同理可得另外两个方向的结果。上式首个等式的三维形式正好是高斯公式（将面积分化为体积分），末个等式用到了热传导定律。由于V是任意的，因此，QqtucQuktuc2.如果c和是常数，令cka2，则),,,(22tzyxfuatu,其中(,)frtQc.稳定态(0):ut22fua(Piossoneq.);无外源(0):f20u(Laplaceeq.）.5．扩散方程（扩散现象、扩散定律和质量守恒）特征量：particledensity(,)rt.辅助量：currentdensity(,)jrt(在单位时间流过单位面积的质量)。扩散定律：().jDjvD为扩散系数。微元：进入体积元V内的质量(''')[(')(')(')].xyzxyzjjjVtDDDVtxyz扩散定律质量增加：tVVt.（为何没有空间导数？在微元内！）质量守恒：[(')(')(')].txyzVtDDDVtxyz均匀系统：20tD.有源（例如核反应或者内部粒子产生源）：(,)mtfrtV:2;tDf稳定：2;Df