复旦数学物理方法讲义10行波法和分离变量法

Chapter10行波法和分离变量法本征值问题上章复习：数理方程的导出与定解问题：泛定方程加上定解条件（例如，初始条件、边界条件、衔接条件、自然条件和周期条件等）。目标：求一个微分方程的解满足确定条件例如初始条件和边界条件等的问题。一般定解问题的分解：00000000,0,0,,~,~0,~,~0,,,0,0,..0.0.IIIIIttttttttttttLufLuLuLufgguuuuuuuuI解出问题I、II、III得123,,,uuu则一般问题的解为321uuuu，求解问题I是基础，问题II可转化为I或III，问题III有多种解法。Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。求解常微分方程：一般先求通解，再用某些定解条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来确定解（因为含有任意函数）—本征值问题可解决此类问题。一、一维无界空间域的自由振动问题达朗伯公式（不讲解）1．行波法和d’Alembert公式（以无限长弦的自由振动为例）:2000(),();(),ttxxtttuauxuxux无界区域其中)(x和)(x是已知函数。特征方程：22222uuatx0dd22atx.解得21CatxCatx.于是作代换atxatx，原方程化简为042Ua.解之得)()(21ffU，这是因为2222(,)(,),,,,,xxxtttuxtUuUUuUUUUuaUaUuaUaUaUaU其中)(1f和)(2f是分别以,为宗量的任意函数。因此，)()(),(21atxfatxftxu，将之代入初始条件，有12()()();fxfxx0''121201()()()()()()d.xxafxafxxfxfxCa000102()1()()d,222()1()()d.222xxxxCxfxaCxfxa这就确定了1f和2f的函数形式，()()1(,)()d22xatxatxatxatuxta—d’Alembert公式。2．物理意义：在时空点(,)xt波形如1()fxat，到了下一时空点(,)xxtt,波形变为如111[()][()](),fxxattfxatxatfxat仍形如则ˆxxataxt沿之速度,也就是说，)(1atxf是一个沿ˆx轴正方向以速度a传播的行波；同理，)(2atxf是一个沿ˆx轴负方向以速度a传播的行波。在d’Alembert公式中，第一项表示由初位移激发的行波在0t时的波形为)(x，以后分成相等的两部分，独立地向左右传播，速率均为a.第二项表示由初速度激发的行波，0t时在x处的速度为)(x，在t时刻，它将左右对称地扩展到atxatx,的范围，传播速率也都是a.另外需要说明的是，这里我们没有明确写出边界条件，即0),(xtxu或xtxu),(有界。严格来说，的确应该明确写出无穷远的条件。但是，对具体问题而言，这个条件可以由)(x和)(x的具体形式来得到保证。)(x和)(x总是会局限在一个有限的范围内，即，当x增大时，)(x和)(x都会足够快地趋于0.因此，从d’Alembert解就可以看出，在有限的时间内，),(txu总还是在一个有限的范围内才不为0.从概念上说，所谓无穷长弦，当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就表示：在我们所考察的时间和空间范围内，端点的影响可以忽略不计。二、一维半无界域的自由振动问题初始条件的延拓（不讲解）1．齐次边界条件：端点(0)x固定：200000,(),();0,ttxxtttxuauxuxuxu其中)(x和)(x是已知函数。因为)(x和)(x以及),(txu仅仅在0x有定义，不能直接应用无界区域的d’Alembert公式。为了能够应用d’Alembert公式，要设法将)(x和)(x以及),(txu的定义域延拓到0x（与Fourier展开时所作的延拓相似），并要满足边界条件00xu.如果这样的解(,)uxtx找到了，那么它的0x的部分就是原定解问题的解。()0,()?0.xxxx()0,()?0.xxxx()()1(,)()d,22xatxatxatxatUxta为确定,，将之代入边界条件，得0()()1(,)()d022atxatatatUxta0t.记aty，上式改写为()()1()d022yyyya0y.由此可见，,的形式（当其宗量为负值时）可以取为（取法不唯一，只要满足上式即可）)()(yy，)()(yy0y.问题转化为2000,()0;()()0.()0;()()0.ttxxtttuauxxxuxxxxxuxxx注意到，atx一定大于等于0（因为0x），但atx可正可负，因此，当0atx，即axt时，()()1(,)()d;22xatxatxatxatuxta当0atx，即axt时，0000()()1(,)()d()d22()()1()d()d22()()1()d.22xatxatxatatxxatatxatxxatuxtaxatatxaxatatxa综上所述，我们得到原定解问题（0x）的解()()1()d();22(,)()()1()d().22xatxatxatatxxatxatxtaauxtxatatxxtaa物理意义：此解的axt部分与无界区域问题的解形式上是完全一样的，这说明了这样一个事实，对弦上某一点x来说，由于波的传播速度是a，来自0x端点的扰动需要经历ax的时间才能影响到x点。当axt时，端点的影响尚未到达x点，这时x点的振动就如同无界弦一样。在端点固定的情况下，端点处永远是波节，所作延拓是奇延拓。当波在端点处发生反射时，反射波位相将与入射波形相反，即位相有一突变值—半波损失（详见教材pp202-203）：当波碰到原点时立刻变号（方向与大小均变号），即0x处的合成波是波节()0;ux反射后反射波继续传播，不过此波与原来波的位相有一突变值(大小与方向均变号)。但是，在端点自由的情况下（如半无界杆的0x端是自由的）：200000,();(),0.ttxxtttxxuauxuxuxu()0;()?0.xxxx()0;()?0.xxxx()()1(,)()d,22xatxatxatxatuxta为确定,，将之代入边界条件，得02)()(2)()(),(0aatatatattxuxx0t.记aty，上式改写为02)()(2)()(ayyyy0y.由此可见，,的形式（当其宗量为负值时）可以取为)()(yy，)()(yy0y,其中第一个式子来源于()()0,yy这是偶延拓.问题转化为2000,()0;()()0.()0;()()0.ttxxtttuauxxxuxxxxxuxxx注意到，atx一定大于等于0，但atx可正可负，因此，当0atx，即axt时，()()1(,)()d;22xatxatxatxatuxta当0atx，即axt时，000000()()1(,)()d()d22()()1()d()d22()()1()d()d.22xatxatxatatxxatatxatxxatuxtaxatatxaxatatxa综上所述，我们得到原定解问题（0x）的解:00()()1()d;22(,)()()1()d()d.22xatxatxatatxxatxatxtaauxtxatatxxtaa2．非齐次边界条件：22200000000000,00,00,();();0;(),(),0,().0.().ttxxttxxttxxtttttttttxxxuauxuauxuauxuxuxuuxuxuuftuuftIII定解问题的解),(txu等于问题I的解),(1txu和问题II的解),(2txu之和，即),(),(),(21txutxutxu.定解问题I的解),(1txu前面已经给出，1()()1()d;22(,)()()1()d.22xatxatxatatxxatxatxtaauxtxatatxxtaa现在讨论定解问题II的求解，（1）因为该系统既没有外力作用，初始条件又为0，所以0x点的扰动是系统振动的唯一原因（来源），因此，在0x区域，只能有向右传播的波而不能有向左传播的波。所以，变量x和t只能以atx或axt的组合形式出现于解中，而不能以另一种形式atx或axt的组合形式出现。（2）就x点来说，当axt时，0x点的扰动尚未影响到这点，这点仍处在平衡位置，所以解的形式是：2(,)HxxuxtFttaa.（3）最后，由边界条件确定F的具体形式，得)(tftF0.t所以，2(,)H.xxuxtfttaa（三、由简述到一般）例如:两端固定弦的自由振动问题:200000,0,0;0,();().ttxxxxltttuauxltuuuxux[定解问题I型：齐次方程和齐次(固定)边界条件，非齐次初始条件]。第一步,分离变量：设)()(),(tTxXtxu,将此),(txu代入方程，即得2()()()().XxTtaXxTt等式两端除以)()(2tTxXa，就有)()()()(2xXxXtTatT.左端只是t的函数(与x无关)，右端只是x的函数(与t无关)。因此，要左端和右端相等，就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数。令这个常数为(参数)，即)()()()(2xXxXtTatT.由此得到两个常微分方程组：2()()0,TtaTt（10.1）()()0.XxXx（10.2）同样，将此),(txu代入边界条件，得0)0(X,()0.Xl（10.3）这就是分离变量，即导出了函