复旦数学物理方法讲义13柱坐标下的分离变量法

Chapter13柱坐标下的分离变量法Bessel函数Abstracts以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数（Bessel函数、Norimann函数、Hankel函数、虚宗量Bessel函数、Macdonald函数和三类球Bessel函数等12个Bessel函数）。在分析这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。一、柱坐标下的变量分离1.柱坐标系下的稳定问题（3+0D，Laplace方程）222222110,uuuuz（1）即：22110.zzuuuu（2）只要实空间可分离变量，就可令(,,)()()()uzRZz，将其代入方程（2）得：20.ZRZRRZ（3）2(3)RZ得：2'.RZRZ（4）由这种分离变量得：20.(5)'.(6)RZRZ方程（5）与周期性边界条件(0)(2),(0)(2)构成本征值问题。解得：2(0,1,2,3,),mmm(){cos,sin}.mmm方程（6）即为22'RZmRZ分离变量22'.RmZRZ得：2220.0.ZZRRmR这两个方程，先求解哪一个以及如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题，也就是取决于定解问题的边界条件。假设（如果）()R构成本征值问题，则2220,RRmR式中的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。1)0:220,RRmR即为Eulereq.2)0:2220.RRmR（7）记：()()xRyx则：dd()d,ddddddd,ddddRyxxRyxRyxRyyx代入（7）得（的量纲为21/,这里将径向变量无量纲化了，相当于取1）2220,xyxyxmy即为m阶Besseleq.3)0:令2k，代入0222RmRR得22220.RRkmR（8）记,()()kxRyx，代入（8）得：2220,xyxyxmy即为虚宗量Besseleq.（9）令：,()()ixtyxt代入（9）得2220,tttm即为Besseleq.我们假设()R构成了S-L型本征值问题，即径向有自然、周期或齐次边界条件，从而,.nnRR再解出(),nZZz得(,,)()().imnmnnnmuzARZze2.柱坐标系下的非稳定问题（3+1D，振动、输运方程）2222(,)(,)0;(,)(,)0.ttturtaurturtaurt只要时空可分离变量，就可令(,,,)()(,,)uztTtVz，将其代入上式得：222222;.TVkaTVTVkaTV注意两个方程及其a的物理意义不同。分离变量得：222220(0tTakTkiTakTthe1steq.isthewaveeq.,itisdampingifIm0.容易求解)the2ndeq.isalsothewaveeq.inQu.Mech.dueto.和220,VkV此为Helmholtz方程，即：22110.zzVVVkV只要实空间可分离变量，就可令(,,)()()()VzRZz，将其代入上式得：222220.0.0.mZZRRkmR同样要求对2k的符号()加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于()Zz的本征值问题）。二、Bessel函数[(圆)柱函数]1.Bessel函数设2,()(),kxRyx则一般地[如果()中没有周期条件，则可以不为整数]0222yxyxyx解()J()N()yxAxBx，其中：201J()!12kkkxxkk，J()cosJ()N()(integer,seechapt.8)sinxxx，J()cosJ()N()lim(integerseechapt.8,p.16).sinnnxxxn，J():x阶（第一类）Bessel函数;N():x阶（第二类）Bessel函数.J()J()J()N()N():Norimannmmmxxmxxx整数，和线性无关解;整数，和线性无关解,函数。当2=xk是实数时，J()x和N()x都是实函数，现在再引入两个复函数。(1)H()J()N()xxix,第一种Hankel函数;(2)H()J()N()xxix,第二种Hankel函数,它们统称为阶（第三类）Bessel函数，于是Bessel方程的解可以是以上四种函数中任何两个的线性组合。这个类似于(1).cos,(2).sin,xx(3).cossin,(4).cossinixixxixexixe都是方程()()0yxyx的特解；或方程()()0yxyx的特解有(1).cosh,(2).sinh,xx(3).coshsinh,(4).coshsinhxxxxexxe，其通解可以用以上四个函数中任何两个线性组合表示[方程()()0yxyx的通解是这四个函数的线性组合]。2.各种柱函数的递推公式与渐近性质（1）递推公式11','.xZxZxZxZ11,.ZZZxZZZxCal.11()112,2.ZZZZZZxZ代表(1)(2)J,N,H,H.证明：例如，201J()!12kkkxxkkdef.，221121212001(22)1J'J,!12!112kkkkkkkkkxxxxxkkkkcal.即：1'.xZxZ同理又有：1'xZxZ.特例：01J'J100J1J()xdx,0(J(0)1见下,其实是定义).1ZxZx1110JJ()xdxx.（2）渐近行为(定性分析)(A).x很小(0)x时，201J()!12kkkxxkk20J()~1;21J()~(0).(1)2xxxx210221(1)!N()lnJ()2!21(1)111111()!!222mnmmmnmnnmnmxmnxxCxnxnmnnmn其中，5772157.0ln1lim1nknnkC称为欧拉（Euler）常数.02N()~ln;2()N()~(0).2xxxx(1)0(1)2H()~ln;2()H()~(0).2ixxxxi(2)0(2)2H()~ln;2()H()~(0).2ixxxxi20J()~12xx0J(0)1(上述特例积分时用过此).1J()~(0)(1)2xxJ(0)0(0).可见0x并非0J()x之零点，而是J(0)之阶零点(0).02N()~ln;2N(0)(0,0).()N()~(0)2xxxx(1)(2)H(0)(0,0).(B).x很大()x时[衰减式震荡函数，证明见教材§13.5]2J()~cos.24xxx2N()~sin.24xxx(1)242H()~.ixxex(2)242H()~.ixxex3.Bessel函数J()nx的基本性质（这里仅仅讨论整数阶Bessel函数）（1）生成函数（母函数，复习）12J()(0).xznznnexzz特别地，令ize，有sinJ().ixinnnexe证明：120201,!21,!2lxzllkkxzkkxezlxezk则：11222000012200011!!211!!2!!211!()!2!()!2klkxxxzzzzlklkkklklklklkklklklklnnknlnnknlnxeeezlkxxzzlklkxxzzkknlln0101J()(1)J()J()(1)(1)J()J().nnnnnnnnnnnnnnnnnnxzxzxzxzxz（2）平面波按柱面波的展开（匹配、归化、一统描述）cos1()201J()J()2J()cos().iikzikxtietmtmxkmmmmeeextxkim这里已用到了J()()J()mmmxx和()2cos().mimmimmieieim（3）加法公式J()J()J().nknkkxyxy证明：12J(),xyzznnnexyz又111222JJJJ.xyxyzzzzzznlnlnlnlnlnleeexzyzxyz令lnk，则12JJJJ.xyzzknnknknknknkexyzxyz所以,比较两者得J()J()J().nknkkxyxy（4）积分公式由sinJ()ixinnnexe得展开系数为sinsincoscos11J()dd2211cossindcossind22=dd.22ixinixinnnnixinixinxeeexnnxiiee第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零；第三行是第一行的/2.（5）J()x的零点[方程J()0x的根](A).J()x的零点有无限多个，且0x的零点都是一级零点()(1,2,3,)nxn:2J()~cos(1).24xxxx0x为J(