复旦数学物理方法课件01复变函数与解析函数

1复变函数与解析函数1.1复数的基本概念为什么需要复数1.从数学角度看实系数方程x2+1=0(1.1)在实数范围内无解，为使得二次多项式有两个根，引进复数。数学游戏？不完全是！——完全不是！回顾数域之拓展：逐渐引入，扩展自然数⟹整数⟹有理数⟹实数⟹复数⟹四元数？为使得实系数n次多项式存在n个根——引入复数那么，为使得复数系数次多项式存在n个根，是否要进一步拓展数域？不必，封闭，完备：复数系数n次多项式有n个复数根。能否进一步扩展？——四元数：（quaternion）源自19世纪末、20世纪初Halmilton等人，a,b,c,d均为实数i2=j2=k2=-1(1.2)乘法不满足交换律：ij≠ji,ij=-ji=k(1.3)四元数：q=ai+bj+ck+d(1.4)为何不流行？——1.复数已经封闭；2.尚没有找到许多应用思考：为何没有三元数而直接跳到四元数？“是故，易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业。”——《易传·系辞上传》注：杨政宁曾预言四元数能在物理上得到应用，有志者可“路漫漫其修远兮，上下左右前后东西南北四面八方无往不利而求索”。(*把工作目录设置成文件所在的目录*)SetDirectory[NotebookDirectory[]];Import[fig01.01quaternion.jpg,ImageSize150]那么复数又有何用？2.从物理角度看◼没有复数就没有（很难建立）量子力学（近50%的GDP与量子力学有关），量子力学需要复数；◼当今物理几大方向：对称性、量子化、相位。后两者均需要复数以方便描述；例如：电磁波中有相位，电动力学需要复数。复数的基本概念1.一对有序的实数(x,y),符号称为虚数单位，实部x，虚部y，虚部为0时，完全退化为实数z=x+y,2=-1,Re[z]=x,Im[z]=y(1.5)2.复共轭z=x+y,z*=x-y,z=x-y(1.6)3.相等：实部虚部分别相等z1=x1+y1,z2=x2+y2则:z1=z2⟺x1=x2&y1=y2(1.7)复数的表示1.代数表示z=x+y2.几何表示：复平面上的一个点，如图中的P点complexplanez=x+yz*=x-yxyxyOPO'P'θr2z01a.nb3.矢量表示，如图中的OP矢量。自由矢量，长度方向相同即可认为两矢量相等，如图中OP=O′P′4.极坐标表示模记为r=z为矢量长度。模r=0时复数的辐角arg[z]不确定，模r≠0时辐角也可差2nπ，通常将(-π,π]之间的辐角值称为辐角主值，记为Arg[z]，故有z=x+y=rcosθ+rsinθ,r=x2+y2,θ=Arg[z],arg[z]=Arg[z]+2nπ(1.8)a.有些书以arg[z]表示辐角的主值，从而(1.8)式变为：Arg[z]=arg[z]+2nπ。b.有些书将辐角主值定义于[0,2π)，这方便于解析推导。c.而在计算机语言中，则将主值取为-πArg[z]⩽π，在介绍复数的根式运算之前，不妨试一试，在Mathematica中-1+10-15=+5.05×10-16,-1-10-15=-+5.05×10-16,(*的输入：ii,的输入：ctrl-2,的输入：ee,*)a=-1.0+10-15;(*Mathematica认为辐角近似为π*)b=-1.0-10-15;(*Mathematica认为辐角近似为-π*){a,b}5.05322×10-16+1.,5.05322×10-16-1.5.指数表示：利用Euler公式，可把复数写成指数形式Euler'sformula:θ=cosθ+sinθ,so,z=rcosθ+rsinθ=rθ(1.9)a.欧拉公式实际上可以看成复数（实部为零的纯虚数）指数运算的定义。这是在一个扩展的数域上定义指数运算。b.本质上是借助泰勒展开式：θ=n=0∞(θ)nn!=cosθ+sinθ，请验证之解释了为何不定义：θ=sinθ+cosθc.同时又满足指数运算规律：θ1θ2=(θ1+θ2)，利于简化运算；d.量子力学中还进一步定义了以算符为宗量的指数函数：∇2=n=0∞∇2nn!,其中：∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2是个算符又如：算符lz=-∂∂ϕ，（ϕ为球坐标的方位角）借助泰勒展开定义该算符的指数函数-αlz-αlzf(ϕ)≡m=0∞(-αlz)mm!f(ϕ)=1-αlz+12!(-αlz)2+…f(ϕ)=m=0∞(-α)mm!f(m)(ϕ)=f(ϕ-α)原来算符lz的指数函数-αlz表示绕z轴（逆时针）转动了α角度e.欧拉公式在θ=π时有“最美的数学公式”，联系了几个基本数学常数：π+1=0，“无理数”的“虚”“无理数”次方加1居然为06.球面表示过复平面原点做一球面与复平面相切，切点为该球面的南极点，北极点标记为N（过原点的直径交球面于N），对任意ζζζz01a.nb3过复平面原点做一球面与复平面相切，切点为该球面的南极点，北极点标记为N（过原点的直径交球面于N），对任意在复平面的一点，连该点与北极点交球面于ζ，显然z点与ζ点一一对应。ζ点即为复数的球面表示。北极点与复平面上模为无穷大的点对应——复平面上模为无穷大的点是一点：对应于复数球面的北极点。RiemannSpherez-planezNζxyO{-0.12,-0.21}pointchoicelinecircleradiusangleshowlinesa.无穷远点的辐角没有定义；b.通常，复平面或全复平面不包含无穷远点，闭复平面或扩充复平面才包含无穷远点；c.以下形式的积分仅表示积分路径的不同，不表示有不同的无穷远点。02+∞versus0-∞复数的代数运算1.复数不能比较大小；（参阅吴崇试《数理方法专题》的讨论）2.当仅当两个复数的虚部、实部分别相等时，才称两复数相等；3.加减法，加法满足交换律、结合律z1±z2=(x1±x2)+(y1±y2)(1.10)a.加减法的几何意义：矢量相加之平行四边形法则；4z01a.nbb.由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边：z1+z2≤z1+z2,z1-z2≥z1-z2(1.11)chooseaddgreentoblueaddbluetogreendisplaycoordinates●●4.乘法：满足分配律、结合律，交换律z1z2=(x1+y1)(x2+y2)=(x1x2-y1y2)+(x1y2+x2y1)(1.12)z1z2=r1θ1r2θ2=r1r2(θ1+θ2)(1.13)zz*=r2=z2,z1z2=z1z2(1.14)a.乘法的几何意义：长度为二者长度之积，辐角为二者之和。b.复数a与z的乘积az：把z矢量的长度变为az，辐角逆时针旋转：Arg[a]5.除法：z/a把z矢量的长度变为z/a，辐角顺时针旋转：Arg[a]z1z2=x1+y1x2+y2=x1x2+y1y2x22+y22+(x2y1-x1y2)x22+y22=r1r2(θ1-θ2)(1.15)6.乘方：n为自然数zn=rnnθ=rn(cosnθ+sinnθ)=rn(cosθ+sinθ)n(1.16)a.后一个等式也称为Demoivre定理7.开方：乘方的逆运算，n为自然数w=zn⟹z=w1/nw=z1/n=rθ1/n=r1/n(θ+2kπ)n,k=0,1,2,...,(n-1)(1.17)a.开方运算是多值的，源自辐角的多值性。b.这点与实数不同，对大于0的实数，开方可取算术根（只取k=0的根），复数不可以只保留“算术根”。c.复数开n次方的n个根均匀分布于以原点为圆心，r1/n为半径的圆周上。z01a.nb5复数应用举例——第一次亲密接触☺例题求证sinπmsin2πm...sin(m-1)πm=m2m-1,integerm1Mathematica可直接给出结果：f[m_]:=ProductSinnπm,{n,1,m-1}FullSimplify[f[m]]21-mm证明：zm-1有m个根均匀分布于单位圆圆周上2kπm,其中k=0,1,2,...,(m-1)，因此zm-1=k=0m-1z-2kπm=(z-1)k=1m-1z-2kπmzm-1z-1=1+z+z2+...+zm-1=k=1m-1z-2kπm对最后一个等式（蓝色部分），令z=1，则有：m=k=1m-11-2kπm,取复共轭：m=k=1m-11--2kπm两个等式相乘m2=k=1m-11-2kπm1--2kπm=k=1m-121-cos2kπm=k=1m-122sin2kπm两边开方即得。☺例题求证：任意四边形的边外接四个正方形，对边正方形中心的连线相互垂直且相等。6z01a.nb显示复数●●●利用复数的矢量表示，矢量也可以用复数表示，设OA=2a,AB=2b,BC=2c,CO=2d,a+b+c+d=0其中a,b,c,d为复数OA边的外接正方形中心A′表为：a-aOA的一半a加上该矢量顺时针转π2AB边的外接正方形中心B′表为：2a+b-bBC边的外接正方形中心C′表为：2a+2b+c-cCO边的外接正方形中心D′表为：2a+2b+2c+d-d矢量A′C′可表为：z1=(2a+2b+c-c)-(a-a)=(a+2b+c)-(c-a)矢量B′C′可表为：z2=(2a+2b+2c+d-d)-(2a+b-b)=(b+2c+d)-(d-b)要证明垂直且相等，须证明：z2/z1=±（正负号可由图形判断）Clear[a,b,c,d];z1=(a+2b+c)-(c-a);z2=(b+2c+d)-(d-b);Simplify[z2-z1,a+b+c+d0]0☺例题求积分z01a.nb7-∞-1x-x2-117-12x2-1cos(17x)dx=Re-∞-1x-x2-117-12x2-117xdx分析：显然，无法通过求原函数求得该定积分的值。只有通过数值计算。一般的数值计算程序，运算过程仅保留15位有效数字，而上述积分的被积函数的绝对值在(-∞,-1间达1023，积分结果数量级仅为1。从而该积分实际上为一些1023的数相加减，得到101的数。有效数字损失22位，任何仅有15位有效数字的算法均无法得到可靠结果。☺Mathematica编程练习验证：对复平面上任意n个互不相等的有限远点zk,k=1,2,...,n,(n≥2)，有恒等式k=1n1nm=1m≠k(zk-zm)=0复数序列的极限按一定顺序排列的复数，zn=xn+yn,n=1,2,3,...，称为复数序列。◼聚点：∀ε0，∃无穷多个zn满足z-znε，则z称为序列的一个聚点。◼极限：∀ε0，∃N(ε)0使得当nN时恒有z-znε，则称z为复数序列的极限。记为limn→∞zn=z一个序列可以由多个聚点，如：13,-24,35,-46,...,(-1)n-1nn+1,...就有两个聚点：±1，当极限存在时，极限是序列唯一的聚点。实数序列中，最大的聚点称为序列的上极限，记为：limn→∞xn，最小的聚点称为下极限，记为：limn→∞xn定理：极限存在充要条件：Cauchy判据∀ε0，∃N(ε)0，使得当nN时，对任意正整数p，恒有zn+p-znε。◼极限趋于无穷：∀M0，∃N(M)0，使得当nN时，恒有znM。记为limn→∞zn=∞。1.2复变函数复变函数的极限与连续区域函数的概念推广到复数数域，自变量是复数，取值范围在复平面的某个区域，与二元函数有点相似（但又不是二元函数）。一些概念：◼点集：复平面上任意一些点的集合。◼邻域：点z0的ε邻域是指满足z-z0ε的点集，以z0为中心，