复旦数学物理方法课件05多值函数+解析延拓

5多值函数解析延拓Γ函数复变函数与实变函数的重要区别之一就是涉及多值函数这一概念。回顾在复变函数定义中的表述：对于复变量在某一个区域取的每一个复数值z=x+y，按照一定的规律，有一个或多个复数值w=u+v与之相对应。因此，可以是多个复数值与一个自变量值相对应，这就是多值函数。最简单的多值函数例子是根式函数，如平方根。人们不能像实变函数的平方根那样规定只取算术根作为平方根函数。理由很简单：对实变函数，当实自变量离开某点之后又返回该点时，平方根的函数值必然返回到原来的值。对复变函数，平方根的函数值是否回原来的值，与自变量离开再返回起点的路径有关（参见下一节的详细分析）。因此不能规定只取单一个函数值。多值函数不仅带来复杂性，还带来一定的混乱。最简单的例子是伯努利诡论：(-z)2=z2⟹Ln(-z)2=Lnz2⟹Ln(-z)+Ln(-z)=Lnz+Lnz⟹2Ln(-z)=2Lnz⟹Ln(-z)=Lnz⟹Ln(-z)=Lnz⟹-z=z现在知道，该诡论的错误之处在于没有考虑到函数的多值性。实际上：Lnz+Lnz≠2Lnz，因为Lnz是多值函数，函数值对应于一个集合（而不是单一个数），因而Lnz+Lnz为两个集合的并（和集），当然不会等于一个集合中的每一个元素都乘于2。前面介绍的复变函数的导数、解析等概念，都是基于单值函数而言。那么，对于多值函数，如何推广？5.1多值函数及其Riemann面实际上，对多值函数，在能唯一确定其函数值之前，难以引入导数、解析等概念。因此，对多值函数，需要先确定函数值。而确定了函数值之后，则可以应用单值函数的概念与性质。确定多值函数的函数值，需要三个步骤：枝点，割线，上下岸。下称为三要素。◼枝点：绕其一周回到出发点时，函数w=f(z)的值发生改变，称之为函数f(z)的枝点。函数之所以会出现多值，是因为在复平面上，当自变量离开某点，在复平面上经一条闭合路径，回到原出发点时，函数值可能发生改变。例如：w=z定义zθ/2,其中θ为z的辐角，即：θ=argz如图，从A点出发，沿绿色闭合线走一周回A点z的辐角θ不变，因而函数值w回到原来的数值同样出发于A点，沿白色线走一周返到A点，辐角θ增加了2π，（行走过程辐角θ始终增加）函数值w⟹-w，不回到原来的数值即：沿某些闭路回起始点，函数值会发生改变，而对另外一些闭路径，函数值不变。为此，引进枝点概念区分不同的路径。xyAθ上例中，z=0是函数w=z的枝点，因为绕z=0行走一周后回到出发点，函数值发生改变。如何找出多值函数的枝点：▲基于定义：在枝点邻域绕行一周回到出发点，函数值发生改变。▲利用（实变函数的）求导法则对函数求导，导函数的奇点通常（很可能）是原函数的枝点，当然要再对这些候选点利用枝点的定义进行判断。w=z,w′=12z,z=0为w′的奇点，故它可能是w的枝点，再利用枝点的定义判断。▲与判断奇点和求留数类似，判断枝点时，别忘了绕无穷远一周判断无穷远点是否枝点。▲一个多值函数，枝点通常多于一个。▲若绕一周改变函数值，绕两周返回原函数值，则称为一阶枝点，绕n周回原函数值，则称为n-1阶枝点。▲枝点是奇点，因为枝点z0是不同单值分支的公共点，z从不同单值分支趋于z0，因不同单值分支的函数值f(z)不同，导致极限值limzz0f(z)-f(z0)z-z0不同也即：极限与z趋于z0的方式有关，导数不存在——奇点更简单的理解是：直接趋于z0和绕z0折腾几周再趋于z0，接近z0时f(z)不同，极限值不同，导数不存在。◼割线：连接（所有）枝点的直线或曲线所做的割线应满足：每一个枝点都有割线连出，并且割线只能起始、终止于枝点。做完割线之后，在复平面内，任何路径都不可能不穿过割线而绕枝点一周。因此，若规定任何路径均不可穿过割线，就不存在绕枝点的路径，因而函数值就能唯一确定了。▲也可这样理解，当路径到达割线并继续延续时，就进入函数的另一个单值分支，进入另一个复平面，这些复平面通过割线相粘接，构成多叶Riemann面。▲作完割线后，函数尽管是单值的（在复平面内任意行走，只要不穿过割线，回到出发点时，函数值还原），但是尚不能确定是取多值集合中的哪一个函数值，因此还需要下一步。◼上下岸辐角：定义割线上岸或下岸的辐角，或者给定函数在某点的函数值。▲对多值函数，割线上（下）岸的辐角定义可以不同，相应的，函数值也不同。这称为选取多值函数的不同单值分支。◼除了上述三要素之外，还有一种方法可确定函数值：即：给定某一点的函数值以及从该点出发到达任意一点的路径。◼即使做好割线并定义上下岸辐角值，在枝点，导数依然不存在。实际上，由于在割线的两岸函数不连续，枝点甚至不是孤立奇点。2z05a.nb理解：例如函数w=z=r1/2θ/2，θ=argz做割线为从原点沿正实轴到无穷远在z≠0的任意一点A，无论怎么折腾，只要不穿过割线趋于A点时，辐角θz=argz没有变函数值w的辐角θw=argw也不变。但对于原点（是枝点），沿上岸接近原点与绕到下岸接近原点（如图黄蓝线）θz=argz分别是0和2π函数值的辐角θw分别为：0与πAxy不同的辐角θw对函数值本身可能没有影响（模趋于0），但对函数的变化率可能产生影响也即：以不同方式0，变化率的极限值可能不同。因而枝点被认为导数不存在，是奇点。以下通过例题说明枝点、割线、上下岸等概念。☺例题：讨论多值函数w=f(z)=z2-1。解：据函数的定义：w=z2-1=z-1z+1(θ1+θ2)/2,θ1=arg(z-1),θ2=arg(z+1)θ1=arg(z-1)等于从1到z的矢量与实轴正向的夹角；θ2=arg(z+1)=arg[z-(-1)]为从-1到z的矢量与实轴正向的夹角；xyθ1θ21-1上岸下岸xyθ1θ21-1上岸要确定函数值，需要三要素：枝点、割线、上下岸。w=z2-1=z-1z+1(θ1+θ2)/2,θ1=arg(z-1),θ2=arg(z+1)枝点：试着求导：w′=2zz2-1,故z=±1可能是枝点，同时别忘了判断z=∞在z=1邻域绕z=1逆时针一周回出发点，θ1增加了2π，θ2不变，w⟹-w,是枝点；绕z=-1逆时针一周回出发点，θ1不变，θ2增加了2π，w⟹-w,也是枝点；在z=∞邻域绕z=∞逆时针一周回出发点，θ1增加了2π，θ2也增加了2π，w不变，不是枝点。故：函数w=z2-1有两个枝点z=±1。割线：连接枝点（保证每一个枝点都有割线连出），为简单起见，取直线。可以选直接连接z=±1的直线，如左图紫色线段，也可以为从z=1，经无穷远点再到达z=-1的直线，如右图蓝色的直线上（下）岸：指定辐角值如左图，割线取为连接z=±1的直线，上岸：θ1=π，3πθ2=0,2π，组合成4种情况，但(θ1+θ2)2=π2,3π2,5π2只给出两种不同的函数值z05a.nb3设上岸辐角取为：θ1=πθ2=0，当z=时，θ1=π-π4，从上岸的点到达z=，矢量(z-1)顺时针转了π4θ2=0+π4,从上岸的点到达z=，矢量(z+1)逆时针转了π4z=-时，θ1=π+π4，从上岸沿蓝色路径到z=-，(z-1)逆时针转了π4θ2=0+7π4,从上岸沿蓝色路径到z=-，(z+1)逆时针转了7π4z=-时，θ1=π-7π4，从上岸沿红色路径到z=-，(z-1)顺时针转了7π4θ2=0-π4,从上岸沿红色路径到z=-，(z+1)顺时针转了π4故：w(z)=z2-1(θ1+θ2)/2⟹w()=22π-π4+0+π4=2w(-)=22π+π4+7π4=-2从上岸沿蓝色路径到z=-w(-)=22-3π4-π4=-2从上岸沿红色路径到z=-计算辐角时应注意：a)需从已知辐角值的点出发，经一条不穿过割线的路径到达所需要求函数值的点b)计算θ1和θ2时必须沿同一条路径，即：计算θ1和θ2都用上图的蓝色，或都用红色路径，不可以用红色路径计算θ1，却用蓝色路径计算θ2。可以验证，上岸辐角取为：θ1=3πθ2=2π函数值相同，与θ1=πθ2=0属同一个单值分支。设上岸辐角取为：θ1=πθ2=2π，可以求出z=时的θ1与θ2故：w()=22π-π4+2π+π4=-2w(-)=22π+π4+2π+7π4=2⟹w()=-w(-)可以验证，上岸辐角取为：θ1=3πθ2=0函数值相同，与θ1=πθ2=2π属同一个单值分支。故函数w=z2-1有两个单值分支。至于属哪一个单值分支，可以由上岸辐角值确定。也可以由复平面上任意一点的函数值确定。例如作完割线后给定w()=-2,就确定了单值分支，w(-)=?-xyθ1θ21-1上岸下岸+设沿上图蓝色线从z=到z=-，依旧：θ1=arg(z-1),θ2=arg(z+1)4z05a.nbw()=-1+12(θ1+θ2)=22(θ1+θ2)=-2⟹在z=处：2(θ1+θ2)=-沿蓝色线到z=-，θ1⟶θ1′=θ1+π2矢量z-1逆时针转了π2θ2⟶θ2′=θ2+3π2矢量z+1逆时针转了3π2w(-)=--1+12(θ1′+θ2′)=22(θ1+θ2+2π)=2沿红色线到z=-，θ1⟶θ1′=θ1-3π2θ2⟶θ2′=θ2-π2，w(-)=--1+12(θ1′+θ2′)=22(θ1+θ2-2π)=2xyθ1θ21-1上岸若取上图割线，并定义w()=-2，则：w(-)=-2=w()若取上岸：θ1=0θ2=0，则：w()=2=w(-)若取上岸：θ1=2πθ2=0，则：w()=-2=w(-)取不同的割线，函数的“奇偶性”不同。取直接连接z=±1的直线作为割线，w(-)=-w()，“奇函数”若取连接z=1，∞，-1的直线作为割线，w(-)=w()，“偶函数”在做割线之前，不能判断w=z2-1是否满足：w(-z0)=w(z0)，这点与实函数不同。☺例题：为函数w=f(z)=z2-1做割线，使得当z在实轴上时，w退化为：w=g(x)=x2-1,x≥11-x2,x1。解：需要做什么样的割线，并如何定义辐角值，才能保证f(z)在实轴上退化为g(x)?xyθ1θ21-1上岸下岸θ2xyθ11-1上岸z05a.nb5从前题知：z=±1是f(z)=z2-1的枝点，可以有两种不同的割线左图的割线必导致w(-2)=-w(2)，显然不能退化为个g(x)，下证之。设在z=2时，arg(z-1)=θ1,arg(z+1)=θ2,w(2)=22-1(θ1+θ2)/2=3(θ1+θ2)/2沿左图白色路径到达z=-2在z=-2时，arg(z-1)=θ1′=θ1+π,arg(z+1)=θ2′=θ2+π,w(-2)=22-1(θ1′+θ2′)/2=3(θ1+π+θ2+π)/2=-3(θ1+θ2)/2=-w(2)因此，取左图割线无法使得当z在实轴上时，f(z)退化为g(x)，无论在哪一个单值分支。只能取如右图之割线。在右割线的上岸，定义arg(z-1)=θ1=0,arg(z+1)=θ2=0对实轴上x≥1，取右割线上岸的函数值，w(z)=x2-1(θ1+θ2)/2=x2-1对实轴上x≤-1，取左割线下岸的函数值，θ1′=θ1+π,θ2′=θ2-πθ1′+θ2′=θ1+θ2=0,仍有：w(z)=x2-1(θ1′+θ2′)/2=x2-1对实轴上x1，有：θ1′′=θ1+π,θ2′′=θ2,θ1′′+θ2′′=θ1+π+θ2=π,故：w(z)=x2-12(θ1′′+θ2′′)=1-x2π/2=1-x2☺例题：已知函数w=f(z)=z2-1在实轴上退化为：w(x)=x2-1,x≥11-x2,x1，求：w′(2)、w′(2+)和w′(2-)2-xy1-1上岸2+解：取如上图蓝色之割线。定义：θ1≡arg(z-1),θ2≡arg(z+1)在右上岸，取θ1=