复旦数学物理方法课件06二阶线性常微分方程的级数解法

6二阶线性常微分方程的级数解法复变函数在解析点邻域或孤立奇点的无心邻域可以展开成Taylor或Laurent级数，这种级数展开技巧不仅可以用于计算积分，还可用于求解二阶线性常微分方程。许多物理规律都用微分方程描述，其中最常见的是二阶线性常微分方程，它的一般形式是2wz2+p(z)wz+q(z)w=f(z)(1.1)如果f(z)=0，则上式称为二阶线性齐次常微分方程。注意常微分方程的“常”是相对于偏微分方程的“偏”而言，指的是自单变量，并非指常系数。在不同的物理问题中，常遇到的二阶线性常微分方程有：（这里的x可看为复变量）Legendre方程：1-x2y″-2xy′+l(l+1)y=0(1.2)Bessel方程：x2y″+xy′+x2-n2y=0(1.3)Laguerre方程：xy″+(1-x)y′+ay=0(1.4)Hermite方程：y″-2xy′+2αy=0(1.5)Chebyshev方程：1-x2y″-xy′+n2y=0(1.6)Hypergeometric方程：x(x-1)y″+[(1+a+b)x-c]y′+aby=0(1.7)Confluenthypergeometric方程：xy″+(c-x)y′-ay=0(1.8)这些方程都是二阶线性常微分方程，因此数学上，每一个方程都有两个线性无关的解，本章要讨论如何求出这两个解。我们将看到，这些方程的解各对应于一类特殊函数，而这些特殊函数在一般情况下，大都无法表示为简单的初等函数。因此，无法通过传统的求积分方法求解。但我们知道这些方程在某些区域必有解析解，因此就把解析解在此邻域展开成级数，于是，这些特殊函数解常用级数表示。我们将以Legendre方程和Bessel方程方程为例，学习二阶线性常微分方程级数解法，就是求解无穷级数种各项系数之间的关系，从而确定级数。这种解法也称Frobenius解法。6.1二阶线性常微分方程的常点与奇点二阶线性齐次常微分方程的一般形式是2wz2+p(z)wz+q(z)w=0(1.9)其中p(z)和q(z)称为方程的系数。显然，方程的性质由其系数确定。特别是，方程解的形式与解的解析性也由系数的解析性确定。通常，人们并不需要在整个复平面内求解方程，更感兴趣的是求解某点z0邻域的解（邻域可大可小），因此，若要在某点z0的邻域求解微分方程，系数函数p(z)和q(z)在z0的性质就显得特别重要，为此，做以下定义。◼常点：如果在z0点，p(z)和q(z)都解析，则z0称为方程的常点◼奇点：如果在z0点，p(z)或q(z)不解析，则z0称为方程的奇点正则奇点：在z0点，p(z)或q(z)不解析，但(z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)都解析。非正则奇点：在z0点，连(z-z0)p(z)或(z-z0)2q(z)也不解析。◼无穷远点的判断：方程做自变量变换z=1/ζ，则方程(1.9)化为2wζ2+2ζ-1ζ2p1ζwζ+1ζ4q1ζw=0(1.10)Clear[Global`*]w0=w[1/ζ]/.ζz;w1=D[w[1/ζ],ζ]/.ζz;w2=D[w[1/ζ],{ζ,2}]/.ζz;eq=(w2+p[z]w1+q[z]w0)/.z1/ζ;c=Coefficient[eq,w''[ζ]];Expand[eq/c](*将w′′[ζ]的系数化为1*)q1ζw[ζ]ζ4+2w′[ζ]ζ-p1ζw′[ζ]ζ2+w′′[ζ](1.10)可写成2wζ2+P(ζ)wζ+Q(ζ)w=0,P(ζ)=2ζ-1ζ2p1ζ,Q(ζ)=1ζ4q1ζ显然，当且仅当p1ζ和q1ζ具有以下形式时，P(ζ)与Q(ζ)才解析，p1ζ=2ζ+a2ζ2+a3ζ3+⋯,q1ζ=b4ζ4+b5ζ5+⋯,(1.11)因为这时对应于：P(ζ)=-a2-a3ζ+⋯,Q(ζ)=b4+b5ζ+⋯在ζ=0均解析，从而ζ=0是(1.10)的常点，对应地，z=∞是(1.9)的常点。若p1ζ和q1ζ不具有(1.11)形式，ζ=0(z=∞)就是微分方程的奇点。若p1ζ和q1ζ具有以下形式，则ζ=0是(1.10)的正则奇点，对应地，z=∞是(1.9)的正则奇点。p1ζ=a1ζ+a2ζ2+a3ζ3+⋯,q1ζ=b2ζ2+b3ζ3+⋯,(1.12)因为这时对应于：P(ζ)=2-a1ζ-a2-a3ζ+⋯,Q(ζ)=b2ζ2+b3ζ+⋯在ζ=0，ζP(ζ)和ζ2Q(ζ)均解析。☺例：(1.7)式的超几何方程：x(x-1)y″+[(1+a+b)x-c]y′+aby=0系数为：p(x)=(1+a+b)x-cx(x-1),q(x)=abx(x-1),故：z=0,1,∞是方程的三个正则奇点。例：(1.8)式的合流超几何方程：xy″+(c-x)y′-ay=0系数为：p(x)=c-xx,q(x)=-ax,故：z=0是方程的正则奇点，z=∞则是非正则奇点。2z06a.nb以下Mathematica代码的运算结果与(1.11)和(1.12)式比较表明：z=∞是超几何方程的正则奇点（当ab≠0时），是合流超几何方程的非正则奇点。Clear[Global`*]p1=(1+a+b)x-cx(x-1)/.x1/y;q1=abx(x-1)/.x1/y;p2=c-xx/.x1/y;q2=ax/.x1/y;Series[p1,{y,0,4}]Series[q1,{y,0,4}]Series[p2,{y,0,4}]Series[q2,{y,0,4}](1+a+b)y+(1+a+b-c)y2+(1+a+b-c)y3+(1+a+b-c)y4+O[y]5aby2+aby3+aby4+O[y]5-1+cy+O[y]5ay+O[y]56.2二阶线性齐次常微分方程的级数解FrobeniusandFuchs定理：对二阶线性常微分方程：2wz2+p(z)wz+q(z)w=01.如果z0是微分方程的常点，则在z0的邻域z-z0R，即：p(z)和q(z)的解析区域，该微分方程必存在两个如下形式的线性独立解：w(z)=k=0∞ck(z-z0)k,其中：c0≠02.如果z0是微分方程的正则奇点，则在z0的邻域z-z0R，即：(z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)的解析区域，该微分方程至少存在一个如下形式的解：w(z)=k=0∞ck(z-z0)k+ρ,其中：c0≠0，ρ是常数，称为指标。对非正则奇点，求解困难得多，幸亏，物理上常见的微分方程(1.2)-(1.8)的非正则奇点都在z=∞。正则奇点邻域求解的指标方程对微分方程的常点，可将级数解代入原微分方程，求出系数之间的递推关系即可。下一节将以Legendre方程为例说明。而对微分方程的正则奇点，必须先求出指标ρ。做法同样是将级数解形式代入原微分方程，但必须先利用z的最低幂次的系数为零，z06a.nb3得到一个关于指标的一元二次方程（称为指标方程），先求出指标ρ。最简单的情况，该一元二次指标方程将给出的两个指标对应的两个解线性无关，这两个线性无关解的线性组合即构成常微分方程的通解。但如果不幸遇到：一元二次方程重根或两根之差为整数，情况将复杂化。以下详细讨论。为简单起见，讨论正则奇点出现于x=0，这里将x看成复变量。若x=0为正则奇点，微分方程必可改写成如下形式（思考一下为什么？这样才能保证xp(x)和x2q(x)解析）：x2y″+xg(x)y′+h(x)y=0,其中：g(x)和h(x)在x=0点解析(1.13)据Frobenius&Fuchs定理，该微分方程必定存在一个如下形式的解：y=xρk=0∞akxk,其中a0≠0（若为常点，则对应于ρ=0）对级数形式的y(x)求导,y′(x)=k=0∞(k+ρ)akxk+ρ-1,y″(x)=k=0∞(k+ρ)(k+ρ-1)akxk+ρ-2,(1.14)再将g(x)和h(x)作Taylor展开，g(x)=g0+g1x+g2x2+…,h(x)=h0+h1x+h2x2+…代入微分方程(1.13)式，将得到以下形如kckxk=0的幂级数形式，k=0∞(k+ρ)(k+ρ-1)+(k+ρ)g0+g1x+g2x2+…+h0+h1x+h2x2+…akxk+ρ=0因为是解析函数的展开，由唯一性定理，各幂次的系数ck=0。看最低幂次xρ项的系数（对应于上式的k=0项）：[ρ(ρ-1)+ρg0+h0]a0=0由Frobenius&Fuchs定理，形式解的系数a0≠0，故可得到一个关于指标的一元二次方程：ρ(ρ-1)+g0ρ+h0=0⟹ρ2+(g0-1)ρ+h0=0称为指标方程(1.15)指标方程是一元二次方程，显然有两个根，以下分三种不同情况讨论。◼指标方程有两个不同的根ρ2≠ρ1，且两根之差不是整数：ρ2-ρ1≠n由Frobenius&Fuchs定理，微分方程的两个解可写成：y1(x)=xρ1a0+a1x+a2x2+…,y2(x)=xρ2a0′+a1′x+a2′x2+…,因为ρ2-ρ1是非整数，故y2(x)/y1(x)不可能等于常数，y2(x)和y1(x)线性无关，其线性组合构成微分方程的通解。故指标方程两根之差为非整数时，微分方程的两个线性无关解写成：y1(x)=xρ1k=0∞akxk,a0≠0,y2(x)=xρ2k=0∞ak′xk,a0′≠0(1.16)其中系数ak与ak′，可将y1(x)与y2(x)代入原微分方程来确定（见下一节）。◼指标方程有重根：这时必有：ρ2=ρ1=(1-g0)/2由Frobenius&Fuchs定理，微分方程必定有一个解可写成：y1(x)=xρ1a0+a1x+a2x2+…,a0≠0(1.17)其中系数ak可将y1(x)代入微分方程来确定。由y1(x)的形式，可导得：y1′y1=ρ1x+q1(x),（作为练习，不妨试试推导）这里以qk(x)表示仅含x的0次或正幂次的函数（x=0邻域的解析函数）。4z06a.nb由于y1′y1=ρ1x+q1(x)，故x=0是y1′y1的单极点，且留数为ρ1。现在，如何找另一个线性无关解？设另一个线性无关解为：y2(x)=u(x)y1(x)，则y2′=u′y1+uy1′，y2″=u″y1+2u′y1′+uy1″代入微分方程：x2y″+xg(x)y′+h(x)y=0，整理得：x2y1u″+2x2y1′u′+xgy1u′+x2y1″+xgy1′+hy1y1是微分方程的解，此项为0u=0进而得到关于u的微分方程：u″+2y1′y1u′+gxu′=0（注：此时y1(x)看成已知函数）代入g(x)的Taylor展开式：g(x)=g0+g1x+g2x2+…,可得：u″+2y1′y1+g0x+q2(x)u′=0,其中q2(x)=g1+g2x+…，仅含x的0次或正幂次(1.18)代入式：y1′y1=ρ1x+q1(x)，并利用指标方程重根ρ2=ρ1=(1-g0)/2，上式化为：u″+g0+2ρ1x+2q1(x)+q2(x)u′=0ρ1=(1-g0)2u″+1x+q3(x)u′=0，q3(x)仅含x的0次或正幂次(1.19)u″u′=-1x-q3(x)两边同积分lnu′=-lnx+q4(x)，⟹u′=1xq4(x)=1xq5(x)，这里q4(x)和q5(x)都只含x的0次或正幂次子项，q5(x)是q4(x)的展开，q5(x)=η0η0≠0+q6(x),其中q6(x)仅含x的正幂次项u′=1x[η0+q6(x)]⟹u=η0lnx+κ0+κ1x+κ2x2+…（其中：η0≠0,而κ0来自积分常数）y2(x)=u(x)y1(x)=η0y1(x)lnx+κ0+κ1x+κ2x2+…y1(x)故指标方程重根时，微分方程的两个线性无关解写成：（思考：为何η0不见了？线性齐次方程，同除以η0≠0）y1(x)=xρ1k=0∞akxk,a0≠0,y2(x)=y1(x)lnx+xρ1k=0∞bkxk(1.20)◼指标方程两根之差为整数：ρ2=ρ1-p,其中整数p0类似上一种情况，我们仍有(1.17)及(1.18)。把y1′y1=ρ1x