复旦数学物理方法课件07狄拉克 δ 函数

7狄拉克δ函数7.1狄拉克δ函数δ函数是一种广义函数generalizedfunction，也称分布distribution。1935年由物理学家狄拉克(PaulDirac)在物理上引入。1950LaurentSchwartz通过广义函数理论，从数学证明了其正确性。更多关于广义函数的介绍，可参阅小册子M.J.Lighthill,AnIntroductiontoFourierAnalysisandGeneralisedFunctions(CambridgeUniversity1958).SetDirectory[NotebookDirectory[]];Import[figgeneralizedfun.jpg]δ函数的物理定义中心位于x0长度为l、总电量为q=1的均匀带电细线段，电荷的线密度λ(x)可写成：λ(x)=0x-x0l/2ql=1lx-x0≤l/2满足-∞∞λ(x)x=q=1现让细线段的长度l0，这时的线电荷密度变为λ(x)=0x-x0≠0∞x-x0=0仍然满足：-∞∞λ(x)x=q=1因此，将定义在区间(-∞,+∞)上，满足上述两条件的函数，称为一维δ函数，即：δ(x-x0)=0x-x0≠0∞x-x0=0，-∞∞δ(x-x0)x=1定义了一维δ函数，则带电为q，中心位于x=x0，长度趋于0的细小线段，其线电荷密度λ(x)=qδ(x-x0)。起初，物理上定义δ函数的目的仅在于简化对函数的微积分运算。直到发展了广义函数论后，才有严格的数学理论。因此，我们在涉及δ函数等式的证明方面，均通过所谓用“物理学家的证明方法”来论证，牺牲了数学上的严谨性。◼“物理学家的证明方法”：对于涉及δ函数的证明，本节均通过判断下式是否成立来论证。-∞∞f(x)D1(x)x=-∞∞f(x)D2(x)x⟹D1(x)=D2(x)，其中f(x)为任意的连续函数也就是说，这里说的证明，与其说是证明，不如说是一种理解、说明。若希望更严谨的数学论证，请参阅Lighthill,AnIntroductiontoFourierAnalysisandGeneralisedFunctionsδ函数的性质1.I=∫-∞∞f(x)δ(x-x0)x=f(x0),对任意的连续函数f(x)证明：利用δ函数的定义I=-∞∞f(x)δ(x-x0)x=limε0+x0-εx0+εf(x)δ(x-x0)x,其中ε0+表示ε0且ε0=limε0+x0-εx0+ε[f(x)-f(x0)]δ(x-x0)xΔ+limε0+x0-εx0+εf(x0)δ(x-x0)x=Δ+f(x0),Δ=limε0+x0-εx0+ε[f(x)-f(x0)]δ(x-x0)x≤limε0+x0-εx0+εf(x)-f(x0)δ(x-x0)x，连续函数：ε0时,f(x)-f(x0)η≤limε0+ηx0-εx0+εδ(x-x0)x=limε0+η=02.δ(x-x0)=δ(x0-x)证明：利用涉及δ函数的“物理学家的证明方法”，设：左边为D1(x)，右边为D2(x)左=-∞∞f(x)D1(x)x=-∞∞f(x)δ(x-x0)x=f(x0)右=-∞∞f(x)D2(x)x=-∞∞f(x)δ(x0-x)x令x0-x=t∞-∞f(x0-t)δ(t)(-t)=f(x0)左=右，故：D1(x)=D2(x)，即：δ(x-x0)=δ(x0-x)3.g(x)δ(x-x0)=g(x0)δ(x-x0)证明：类似地，设：左边为D1(x)，右边为D2(x)-∞∞f(x)D1(x)x=-∞∞f(x)g(x)δ(x-x0)x=f(x0)g(x0)-∞∞f(x)D2(x)x=-∞∞f(x)g(x0)δ(x-x0)x=f(x0)g(x0),得证。▲推论：xδ(x)=0▲特别注意：f(x)δ(x)=g(x)δ(x)不能导出f(x)=g(x)，因为f(x)δ(x)=f(0)δ(x)，f(x)δ(x)=g(x)δ(x)⟹f(0)=g(0)2z07a.nb4.若φ(x)为连续函数，且φ(x)仅有一阶零点xk,k=1,2,…,N，则δ[φ(x)]=k=1Nδ(x-xk)φ′(xk)证明：因为δ函数仅在其宗量（自变量）为0时才不为0，故δ[φ(x)]=k=1Nckδ(x-xk)，两边同时对x从xl-ε到xl+ε积分，取ε0+使得φ(x)在积分区间[xl-ε,xl+ε]仅有一个零点xl右=xl-εxl+εk=1Nckδ(x-xk)x=k=1Nckxl-εxl+εδ(x-xk)x=cl左=xl-εxl+εδ[φ(x)]x=xl-εxl+εδ[φ(x)]φ(x)φ′(x),注意在一阶零点xl邻域，连续函数φ′(xl)≠0⟹φ′(x)≠0=φ(xl-ε)φ(xl+ε)δ(t)tφ′(x)=1φ′(ξ)φ(xl-ε)φ(xl+ε)δ(t)t,其中t=φ(x)，xl-εξxl+ε=1φ′(ξ)φ(xl-ε)φ(xl+ε)δ(t)t=1φ′(xl),当φ(xl+ε)φ(xl-ε)即φ′(xl)0时1φ′(ξ)φ(xl-ε)φ(xl+ε)δ(t)t=-1φ′(xl),当φ(xl+ε)φ(xl-ε)即φ′(xl)0时=1φ′(xl)⟹cl=1φ′(xl)⟹δ[φ(x)]=k=1Nδ(x-xk)φ′(xk)▲推论δ(ax-b)=δ(x-b/a)a,δx2-a2=δ(x-a)+δ(x-a)a,δ(sinx)=k=-∞∞δ(x-kπ)δ函数的常用极限表达式δ(x)=limu∞sin2(xu)πx2u=limn∞nπ-n2x2=limε0επx2+ε2=limε0nπn2x2+1z07a.nb3Clear[Global`*]f[n_]:=nπ-n2x2;g1=Plot[{f[n0=3],f[n0=5],f[n0=7]},{x,-1,1},PlotRange{0,4},PlotStyle{{Red},{Green,Dashed},{Blue,Dashing[0.00]}},PlotLabelf[n],PlotLegendsPlaced[LineLegend[{Style[n=3,Italic,10],Style[n=5,Italic,10],Style[n=7,Italic,10]},LegendMarkerSize{30,10}],{0.8,0.7}]];f[n_]:=1πnπ(n2x2+1);g2=Plot[{f[n0=5],f[n0=15],f[n0=45]},{x,-1,1},PlotRange{0,5},PlotStyle{{Red},{Green,Dashed},{Blue,Dashing[0.0]}},PlotLabelf[n],PlotLegendsPlaced[LineLegend[{Style[n=5,Italic,10],Style[n=15,Italic,10],Style[n=45,Italic,10]},LegendMarkerSize{30,10}],{0.8,0.7}]];f[n_]:=Sin[xn]2πx2n;g3=Plot[{f[n0=5],f[n0=10],f[n0=20]},{x,-1,1},PlotRange{0,7},PlotStyle{{Red},{Green,Dashed},{Blue,Dashing[0.0]}},PlotLabelf[n],PlotLegendsPlaced[LineLegend[{Style[n=5,Italic,10],Style[n=10,Italic,10],Style[n=20,Italic,10]},LegendMarkerSize{30,10}],{0.8,0.7}]];Grid[{{g1,g2,g3}}]n=3n=5n=7-1.0-0.50.00.51.01234n-n2x2πn=5n=15n=45-1.0-0.50.00.51.012345nπ2n2x2+1n=5n=10n=20-1.0-0.50.00.51.01234567sin2(nx)πnx2选取其中之一加以证明。limε0επx2+ε2=limε0εlimε0πx2+ε2=0x≠0limε0επε2=∞x=0⟹limε0-∞+∞επx2+ε2x=limε01πtg-1xε-∞+∞=1◼Heaviside阶跃函数4z07a.nbH(x)=0x01x≥0，⟹H(x)x=δ(x)证明：令D1(x)=H(x)x，D2(x)=δ(x)-∞+∞f(x)D1(x)x=-∞+∞f(x)H(x)xx分部积分f(x)H(x)-∞+∞--∞+∞H(x)f′(x)x=f(∞)-0∞f′(x)x=f(∞)-[f(∞)-f(0)]=f(0)-∞+∞f(x)D2(x)x=-∞+∞f(x)δ(x)x=f(0)⟹D1(x)=D2(x)δ函数的导数定义：对任何一个在x=x0点具有连续导数的函数f(x)，若-∞∞f(x)δ′(x-x0)x=-f(x)xx=x0=-f′(x0)均成立，则称δ′(x-x0)为δ(x-x0)的导数。记为：δ′(x-x0)=δ(x-x0)x这个定义是利用普通函数的导数运算公式而得，即利用-∞∞f(x)δ(x-x0)xx分部积分f(x)δ(x-x0)-∞∞--∞∞δ(x-x0)f′(x)x=-f′(x0)当然，这只是物理上为运算方便引入。后来数学家用广义函数论给予了证明。类似地，继续利用普通函数的导数运算公式，可以定义δ函数的n阶导数。即：对任何一个在x=x0点具有连续导数的函数f(x)，若-∞∞f(x)δ(n)(x-x0)x=(-1)nnf(x)xnx=x0=(-1)nf(n)(x0)成立，则δ(n)(x-x0)=nδ(x-x0)xn为δ(x-x0)的n阶导数。◼δ函数导数的性质δ′(x0-x0)=-δ′(x-x0)，利用“物理学家的证明方法”，易证-∞∞f(x)δ′(x0-x)xt=x0-xt=∞t=-∞f(x0-t)δ′(t)(-t)=-∞∞f(x0-t)δ′(t)t=-f(x0-t)tt=0=f′(x0)(x-x0)δ′(x-x0)=-δ(x-x0)，利用“物理学家的证明方法”，易证-∞∞f(x)[(x-x0)δ′(x-x0)]xt=x0-xt=∞t=-∞f(x0-t)[-tδ′(t)](-t)=-[tf(x0-t)]tt=0=-f(x0)三维δ函数对三维空间，相应地，在不同坐标系下，三维δ函数定义为：δr-r′=δ(x-x′)δ(y-y′)δ(z-z′)直角坐标系1r2sinθδ(r-r′)δ(θ-θ′)δ(ϕ-ϕ′)球坐标系1ρδ(ρ-ρ′)δ(ϕ-ϕ′)δ(z-z′)柱坐标系其中利用了在三个坐标系下小体积元的表达式：τ=xyz=r2sinθrθϕ=ρρϕzz07a.nb5V∞δr-aτ=1，V∞f(r)δr-aτ=f(a)在三维空间，一个位于r=a的点电荷q，其电荷密度表为：ρq(r)=qδr-a例题☺例1：求位于r=a点电偶极子的电荷密度ρp(r)解：对位于a处的点电荷，电荷密度可表为：ρq(r)=qδr-a电偶极子由相距很近的一对点电荷构成。设电偶极子的两个点电荷-q与+q分别位于r=a与r=a+l电偶极矩p=limq∞l0ql并且：limq∞l0ql的高阶项=0把电荷密度表为两点电荷之和：ρp(r)=qδr-a-l-δr-a对δr-a-l做Taylor展开：fr-a-l=fr-a+-l·∇fr-a+l的高阶项即：δr-a-l=δr-a