复旦数学物理方法课件08傅里叶变换和色散关系

8傅里叶变换和色散关系在所有科技类文献中，出现频率最高的术语，就是傅里叶变换，FourierTransform。8.1Fourier变换Fourier级数在实变函数中，学过下列定理定理：任意周期为2π的函数f(x)，如果在每个周期中满足为Dirichlet条件，即：(a)连续或只有有限个第一类间断点（左右极限存在但不相等，称之）(b)只有有限个极大或极小值则：f(x)可展开为以下绝对且一致收敛的级数f(x)=a02+n=1∞(ancosnx+bnsinnx),an=1π-ππf(x)cosnxx,bn=1π-ππf(x)sinnxx,级数在函数的连续点收敛于函数值，在第一类间断点x0收敛于左右极限之平均：12f(x0-)+f(x0+)若周期为2l：f(x+2l)=f(x)，可作变量代换：t=πlx⟹f(x)=flπt=g(t)⟹g(t+2π)=g(t)得到周期为2π的函数g(t)，从而g(t)=a02+n=1∞(ancosnt+bnsinnt),an=1π-ππg(t)cosntt,bn=1π-ππg(t)sinnttf(x)=a02+n=1∞ancosnπlx+bnsinnπlx,an=1l-llf(x)cosnπxlx,bn=1l-llf(x)sinnπxlx上式即为任意满足Dirichlet条件且周期为2l的函数之Fourier级数。若函数仅在[-l,l]区间有定义，则可做周期延拓：f(x)=f(x±2l)=⋯，从而：定义在[-l,l]区间的满足Dirichlet条件的函数f(x)，可展开为f(x)=a02+n=1∞ancosnπlx+bnsinnπlx,在间断点收敛于左右极限之平均(1.1)☺试将如下函数展为Fourier级数f(x)=tfor0≤t≤πt-2πforπ≤t≤2π解：an=1π-ππf(x)cosnxx=0,bn=1π-ππf(x)sinnxx=(-1)n-12nClear[Gloabal`*]f[x_]:=If[x≤π,x,x-2π];b[n_]:=(-1)n-12n;g[x_,ns_]:=Sum[b[n]Sin[nx],{n,1,ns}];Plot[{g[x,5],g[x,25],g[x,50],f[x]},{x,0,2π},PlotStyle{Red,Magenta,Blue,Black},PlotLegendsPlaced[LineLegend[{Style[n=5,Italic,10],Style[n=25,Italic,10],Style[n=50,Italic,10]},LegendMarkerSize{30,1}],{Scaled[{.6,0.6}],{0,0.25}}]]n=5n=25n=50123456-4-224Fourier积分利用Euler公式：cosx=12x+-x,sinx=12x--x,周期为2l的函数之Fourier级数可写成更为简洁的复数形式f(x)=a02+n=1∞ancosnπlx+bnsinnπlx=a02+n=1∞12(an-bn)nπx/l+12(an+bn)-nπx/l=n=-∞∞cnnπx/l其中cn的表达式有统一的形式：c0=a02=12l-llf(x)x=12l-llf(x)-k0xxcn=an-bn2=12l-llf(x)(cosknx-sinknx)x=12l-llf(x)-knxx,n0cn=a-n+b-n2=12l-llf(x)(cosknx-sinknx)x=12l-llf(x)-knxx,n0故，对周期为2l的函数f(x)，有复数形式的Fourier级数：f(x)=n=-∞∞cnknx,kn=nπl,cn=12l-llf(x)-knxx如何推广至非周期情况？视为周期2l且定义于[-l,l]区间的函数，再让l∞在什么条件下才能有相应的展开形式？展开形式应如何变化？2z08aFourier变换.nb还是从复数形式的Fourier级数出发f(x)=n=-∞∞cnknx,kn=nπl,l∞时，kn0?非也!因为n从-∞到+∞求和。f(x)=n=-∞∞cnknxΔkn1Δkn,Δkn=kn+1-kn=πl=Δk与n无关，且l∞时，Δkn=Δk0=1Δkn=-∞∞cnknxΔkn,因为Δk0，求和变为积分=1Δk-∞∞ckkxk,其中ck=cn=12l-llf(x)-knxx=12l-llf(x)-kxx=-∞∞12lΔk-llf(x)-kxxkxk,注意Δk=Δkn=πl,2lΔk=2π在l∞时，进一步改写成f(x)=-∞∞12π-∞∞f(ξ)-kξξkxk=12π-∞∞f(k)kxk称为Fourier积分f(k)=-∞∞f(ξ)-kξξ那么上述一系列貌似正确的推导，在什么条件下成立？充分条件：(a)函数f(x)在任意有限区间内满足Dirichlet条件；(b)-∞∞f(ξ)ξ有界，或称为f(x)绝对可积。实际上，条件(b)还可弱化为平方可积，即：∫-∞∞f(ξ)2ξ∞，相应的，这时的收敛退化为平均值收敛，即：limA+∞-∞∞f(t)-12π-AAf(k)kxk2t0◼容易推广至三维f(x,y,z)=-∞∞-∞∞-∞∞1(2π)3-∞∞-∞∞-∞∞f(x,y,z)-(kxx+kyy+kzz)xyz(kxx+kzy+kzz)kxkykz◼写成三角函数形式f(x)=12π-∞∞-∞∞f(ξ)-kξξkxk=12π-∞∞-∞∞f(ξ)k(x-ξ)ξk=12π-∞∞ξf(ξ)-∞∞cosk(x-ξ)偶函数+sink(x-ξ)奇函数,积分为0k=1π-∞∞ξf(ξ)0∞cosk(x-ξ)k=1π0∞k-∞∞f(ξ)cosk(x-ξ)ξ=0∞1π-∞∞f(ξ)coskξξcoskxk+0∞1π-∞∞f(ξ)sinkξξsinkxk=0∞[A(k)coskx+B(k)sinkx]kA(k)=1π-∞∞f(ξ)coskξξ,B(k)=1π-∞∞f(ξ)sinkξξ▲写成三角函数形式有何好处？当f(x)为偶函数时：f(x)=0∞A(k)coskxk,A(k)=2π0∞f(ξ)coskξξ当f(x)为奇函数时：f(x)=0∞B(k)sinkxx,B(k)=2π0∞f(ξ)sinkξξz08aFourier变换.nb3Fourier变换Fourier积分f(x)=-∞∞12π-∞∞f(ξ)-kξξkxk改写为f(x)=12π-∞∞f(k)kxk称为f(k)的反Fourier变换f(k)=-∞∞f(ξ)-kξξ称为函数f(x)的Fourier变换记为：f(k)=ℱ[f(x)],也称像函数；f(x)=ℱ-1f(k),也称原函数量子力学中，粒子状态用波函数描述。以粒子动量为自变量的波函数，是以粒子坐标为自变量的波函数之Fourier变换。若f(x)是奇函数或偶函数，常写成三角函数形式，进行正弦变换和余弦变换。由三角函数形式的变换f(x)=0∞[A(k)coskx+B(k)sinkx]k,A(k)=1π-∞∞f(ξ)coskξξ,B(k)=1π-∞∞f(ξ)sinkξξ即：f(x)=1π0∞-∞∞f(ξ)coskξξcoskxk+1π0∞-∞∞f(ξ)sinkξξsinkxk(1.2)若f(x)为奇函数，上式第一项为0ℱS[f(x)]=12-∞∞f(ξ)sinkξξ=0∞f(ξ)sinkξξ=fS(k)正弦变换ℱS-1fS(k)=2π0∞fS(k)sinkxk=f(x)若f(x)为偶函数，(1.2)式第二项为0ℱC[f(x)]=12-∞∞f(ξ)coskξξ=0∞f(ξ)coskξξ=fC(k)余弦变换ℱC-1fC(k)=2π0∞fC(k)coskxk=f(x)◼三维空间的Fourier变换ℱ[f(x,y,z)]=f(kx,ky,kz)=-∞+∞-∞+∞-∞+∞f(x,y,z)-(kxx+kyy+kzz)xyzℱ-1f(kx,ky,kz)=f(x,y,z)=1(2π)3-∞+∞-∞+∞-∞+∞f(kx,ky,kz)(kxx+kyy+kzz)kxkykz◼四维时空的Fourier变换ℱ[f(x,y,z,t)]=f(kx,ky,kz,ω)=-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞f(x,y,z,t)-(kxx+kyy+kzz)+ωtxyztℱ-1f(kx,ky,kz,ω)=f(x,y,z,t)=1(2π)4-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞f(kx,ky,kz,ω)(kxx+kyy+kzz)-ωtkxkykzω◼Fourier变换的物理意义若f(x)=δ(x),则：4z08aFourier变换.nbf(k)=ℱ[f(x)]=-∞∞f(ξ)-kξξ=-∞∞δ(ξ)-kξξ=1f(x)=ℱ-1f(k)=12π-∞∞1·kxx=f(x)=δ(x)⟹δ(x)=12π-∞∞kxx物理上，若将x视为时间，k视为圆频率，则δ(x)可视为时域的一个尖脉冲，对应地，在频域中，f(k)=1，表明它包含了所有的各种频率分量，且各频率分量振幅和相位相等。反之，若在频域中仅仅包含一个频率分量，对应于像函数为delta函数：δ(k-k0)，在时域上看，有f(x)=12π-∞∞δ(k-k0)kxk=12πk0x的确，在时域上看，是单一频率k0的时谐振荡。因此，若将x视为时间：Fourier变换其实是将一个随时间任意变化的函数f(x)，分解为各种频率分量f(k)的叠加。像函数f(k)给出不同频率分量的振幅及相位。这一点，将在下一节“色散关系”中展现得更为清楚。若将x视为空间坐标，k视为波矢量，则单一个波矢量的波：φ=ekz充满整个空间，反过来，若一个波在局域在空间某有限区域，则它必定由波矢量不同的波叠加而成。求像函数、原函数例题通过例题介绍涉及Fourier变换的一些计算技巧，有些技巧貌似不严谨，但在物理中常用，其数学基础是广义函数论。☺例题：f(x)=-x，求f(k)解：f(k)=-∞∞f(x)-kxx=-∞∞-x-kxx=11-k+11+k=21+k2☺例题：f(x)=δ(x)，求f(k)。看起来更为严格的证明。解：f(k)=-∞∞f(x)-kxx=-∞∞δ(x)-kxx=1反变换：ℱ-1f(k)=12π-∞∞f(k)kxk=12π-∞∞kxk=δ(x)，怎么看起来有点怪？这里涉及：Cauchy主值积分（是积分主值，不是积分的一般值，后者其实是不收敛的）I(x)=12π-∞∞kxk积分主值limn∞12π-nnkxk=limn∞sinnxπx看sinnxπx，不同n值的图形如下。n=10-0.4-0.20.20.4-22468sin(nx)πxn=200-0.4-0.20.20.4-2020406080sin(nx)πxn=2000-0.10-0.050.050.10200400600sin(nx)πx随n增大，I(x)的峰越来越高、越来越窄，似乎暗示着I(x)=limn∞sinnxπxδ(x)？然也。证据？考虑函数序列：In(x)=sinnxπx，要“证明”limn∞In(x)δ(x)，需验证以下两点：(a)随n增大，In(x)在x=0的峰可任意高，任意窄(b)对In(x)的积分，在n