复旦数学物理方法课件09数学物理方程的定解问题

9数学物理方程的定解问题数学物理方程：来自物理问题的多自变量函数满足的偏微分方程。是单自变量函数的常微分方程的推广。这些自变量最常见的是：空间（三维坐标对应于三个变量x,y,z）时间t。从物理上看，数理方程大体分为三类：1.振动方程：如波动方程、Helmholtz方程2.输运方程：如扩散方程、热传导方程3.稳态方程：如Laplace方程、Poisson方程本章举例导出若干常见的数学物理方程，并对这些方程进行分类，讨论求解这些方程所需的条件。9.1波动方程先以杆的纵振动为例，讨论支配波动现象的一些物理规律。细杆的纵振动方程杆纵振动的物理定律细杆沿杆长方向做微小振动，假设在垂直于杆的任意截面上各点振动状态相同，就退化一维问题。先熟悉一些概念。◼位移：由于振动，在不振动时位于x的点，因振动偏离原平衡位置x，位于：x+u(x,t)，其中u(x,t)称为位移。u(x,t)：不做振动时位于x位置的质点在t时刻的位移。◼相对伸长：考虑细杆上的一小段，x+u(x,t)x+xxx+x+u(x+x,t)在不振动时这一小段的两端分别位于平衡位置x和x+x，如上图红色所示，因为振动，在t时刻两端分别位于x+u(x,t)与x+x+u(x+x,t)，如上图蓝色所示。在t时刻这一小段的长度为：l=[x+x+u(x+x,t)]-[x+u(x,t)]=x+u(x+x,t)-u(x,t)不振动时这一小段的长度为：l0=[x+x]-x=x，振动导致的伸长为：Δl=l-l0=u(x+x,t)-u(x,t)振动导致的相对伸长为：Δll0=u(x+x,t)-u(x,t)x=∂u(x,t)∂x=ux(x,t)因为杆的纵振动，导致原处于x的一小段杆的相对伸长为：ux(x,t)——相对伸长☺例：设一细杆放于x轴，两端分别于：x=0和x=l。振动导致的杆在x=0端的相对伸长为：ux(0,t)，在x=l端的相对伸长为：ux(l,t)◼Hooke定律在弹性限度内，应力（单位截面积的力）与应变（相对伸长）成正比，比例系数称为杨氏模量YFS=Yux(x,t)，其中：F为作用力，以拉力为正，S为截面面积，Y为杨氏模量，Y总大于0，这是由热力学稳定性条件所决定的。此式意义类似于牛顿第二定律：若已知某处的相对伸长为：ux(x,t)，则杆在该处必受到YSux(x,t)的拉力。反之，若已知细杆在某处受到的拉力为：F，则在该处细杆必有：FYS的相对伸长ux(x,t)。☺例1：细杆置于x轴，x=l为自由端，试写出在x=l端位移u(x,t)x=l应满足的条件。解：x=l为自由端，不受力，F=0，从而ux(l,t)=FYS=0。☺例2：细杆置于x轴，x=l固定，x=0端与一弹簧相连，如图，当不振动时弹簧处于平衡长度，求振动时杆两端位移u(x,t)所应满足的条件（边界条件）。解：0xl因为x=l端固定，故在杆右端有：u(l,t)=0。在x=0端，当杆位移u(0,t)时，弹簧被拉长u(0,t)，弹簧对杆的左端有拉力ku(0,t)，（注意这时向左才是拉力，沿负x轴方向是拉力，沿负x轴方向取为正。）根据Hooke定律：拉力=YS×相对伸长⟹ku(0,t)=YSux(0,t)，故在杆左端位移满足：ux(0,t)-kYSu(0,t)=0☺例3：细杆置于x轴，x=0固定，x=l端与一弹簧相连，如图，当不振动时弹簧处于平衡长度，求振动时杆两端位移u(x,t)所应满足的条件。解：0xl因为x=0端固定，故在杆左端有：u(0,t)=0。在x=l端，当杆位移u(l,t)时，弹簧被压缩u(l,t)，弹簧对杆的左端有压力ku(l,t)，也就是说，弹簧对杆右端有拉力：-ku(l,t)（注意这时向右才是拉力，沿正x轴方向是拉力，沿负正x轴方向取为正。）根据Hooke定律：拉力=YS×相对伸长⟹-ku(l,t)=YSux(l,t)，故在杆右端有：ux(l,t)+kYSu(l,t)=0（注意与上一题x=0端的条件差一个负号）☺例4：细杆垂直放置，x=0端固定，x=l端与一质量为M的重物相连，如图，忽略细杆的重量，求杆两端位移u(x,t)各自所应满足的关系。2z09a.nb解：xMg0l杆上端x=0处，位移u(0,t)=0杆下端x=l处的位移为：u(l,t)，杆与重物相连，故重物的加速度a=utt(l,t)重物所受到的力：重力Mg，杆对重物向上的拉力T，故：Mg-T=Ma=Mutt(x,t)杆对重物向上的拉力为：T=Mg-Mutt(l,t)，反过来，重物对杆下端的向下拉力也为T即，杆的下端受到的拉力（沿正x方向）为T=Mg-Mutt(l,t)据Hooke定律，T=YSux(l,t)⟹杆下端的位移满足：Mg-Mutt(l,t)=YSux(x,t)杆的纵振动方程均匀细杆的微小纵振动，微小振动，杆的截面积视为常数S。考虑从x到x+x的一小段杆，如图x+xx这一小段杆的质量：m=ρSx,加速度：utt(x,t),力F=？在右端x+x,杆的相对伸长为：ux(x+x,t)；在左端x,杆的相对伸长为：ux(x,t)据Hooke定律，这一小段杆的右端必受到YSux(x+x,t)的拉力，注意右端拉力是向右，沿+x方向左端必受到YSux(x,t)的拉力，左端拉力沿-x方向。这一小段所受的合力：F=YSux(x+x,t)-YSux(x,t)=(m)utt(x,t)=ρSutt(x,t)x上式两边除以x即得：YS[ux(x+x,t)-ux(x,t)]x=ρSutt(x,t),令a=Y/ρ从而一均匀细杆的纵振动方程为：Yuxx(x,t)=ρutt(x,t)⟹utt(x,t)-a2uxx(x,t)=0若这一小段杆的加速度取为：utt(x+x,t)，导出的纵振动方程相同吗？弦的横振动方程一条完全柔软的均匀细弦，沿水平方向拉紧，求其沿垂直方向的微小振动。几个假设：(a)绷紧的柔软细弦，张力沿弦的切向(b)振动微小，弦与水平x轴的夹角很小(c)弦单位长度所受的外力垂直于x方向(d)弦很轻，略去重力，重力远小于拉力考虑从x到x+x的一小段弦，如图T1x+xxT2xf显然不振动时整段弦在x轴，振动时位移u(x,t)给出t时刻弦所在的曲线根据导数的几何意义：ux(x,t)为弦在x处的切向与x轴的夹角的正切：tgα1=ux(x,t)由于柔软弦绷紧，仅受拉力，故这一小段弦两端受力方向如上图所示弦沿垂直方向振动，因此有：T2cosα2-T1cosα1=0T2sinα2-T1sinα1+f(x)x=(m)utt(x,t)其中f为弦单位长度所受的外力。由假设(b)，cosα2≈cosα1≈1,sinα2≈tgα2=ux(x+x,t),sinα1≈tgα1=ux(x,t)因而上两个方程退化为：T2=T1=TT[ux(x+x,t)-ux(x,t)]+f(x)x=(λx)utt(x,t),λ为弦的线密度令a=Y/λ，有：utt(x,t)-a2uxx(x,t)=f(x)，若弦不受外力，则：utt(x,t)-a2uxx(x,t)=0杆的纵振动和弦的横振动满足的偏微分方程相同。更一般地，在三维空间中，方程为以下形式z09a.nb3∂2u∂t2-a2∇2u=0∇2≡∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2(1.1)上式称为波动方程，其中∇2称为Laplace算符，∇2≡∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2是Laplace算符在直角坐标系下的形式。例题☺例5：弹性细杆垂直放置，x=0端固定，x=l端与一质量为M的重物相连，如图，已知杆振动时受到的空气阻力与其速度成正比，求杆的振动方程。解：xMg0l杆上端x=0，杆下端x=l。考虑从x到x+x的一小段，这一小段杆所受到的外力包括：重力：Sλgx；空气阻力：-γut(x,t)x；下端的拉力：YSux(x+x,t)；上端的拉力：YSux(x,t)；振动方程：Sλgx-γut(x,t)x+YS[ux(x+x,t)-ux(x,t)]=λutt(x,t)x整理得：utt(x,t)+βut(x,t)-a2uxx(x,t)=g☺例6：细绳一端固定在以角速度ω转动的竖直轴上，因惯性离心力的作用，细绳的平衡位置是水平线。若某时刻细绳上的点有竖直方向的微小偏移，求细绳相对于水平方向的横振动方程。解：设绳子固定端为x=0，另一端为x=l，并设细绳的线质量密度为λ考虑从x到x+x的一小段绳，如图T1x+xxT2x水平方向有：T(x)cosα1-T(x+x)cosα2=λxmω2x向心力与向心加速度。Tx=-λω2x⟹T=-12λω2x2+c，在x=l端，自由端不受力Tx=l=0⟹T=12λω2l2-x2竖直方向有：T(x+x)sinα2-T(x)sinα1=λxmutt(x,t)，利用sinα1=tgα1=ux(x,t),sinα2=tgα2=ux(x+x,t)得振动方程：utt(x,t)=1λx(T(x+x)ux(x+x,t)-T(x)ux(x,t))=[T(x)ux(x,t)]λx=12ω2∂l2-x2ux(x,t)∂x即：utt(x,t)=12ω2∂l2-x2ux(x,t)∂x☺例7：一长为l的匀质柔软重绳，上端固定于一竖直轴上，绳子与轴以角速度ω旋转。求重绳在重力作用下相对于竖直轴的横振动方程。（略去Coriolis力：-2mωv。）解：设绳子固定端（上端）为x=0，下端为x=l在竖直方向：T(x+x)cosα2-T(x)cosα1=λxmgTx=-λg⟹T=λgx+c，在x=l端，自由端不受力Tx=l=0⟹T=λg(l-x)水平方向有：T(x+x)sinα2-T(x)sinα1+u(x,t)λxω2非惯性系中的离心力=λxmutt(x,t)振动方程：utt(x,t)=g∂[(l-x)ux(x,t)]∂x+u(x,t)ω24z09a.nb为何在x=l的自由端，T=0考虑从l-x到l的一小段，这一小段在x=l端，自由端没有受到任何力，设在l-x端，这一小段受力为T那么：T=λgx，x0，故：T=0，即在自由端：T=0。9.2输运方程本节以热传导为例，导出热传导方程，其形式全同于粒子扩散的输运方程。热传导的若干基本物理定律1.傅里叶定律在各向同性介质中，热流密度矢量q与温度梯度成正比q=-k∇u,其中：u(x,y,z,t)为温度，k0称为热导率或热传导系数注意方程中的负号，表明热量总是从高温区流向低温区（热力学第二定律），故k0。热流密度矢量q的物理意义：（类似于电流密度矢量：j）q·nσ：单位时间穿过法向沿n的小面积元σ的热量。nσSq·nσ：单位时间穿过法向曲面S的热量。Q=Sq·nσ：若n取闭合曲面的外法向，则Q为单位时间流出闭合曲面S的热量，类似地：-Sq·nσ为单位时间流入闭合曲面S的热量q=-k∇u与牛顿第二定律f=ma类似：有什么样的热流密度矢量必在介质内建立对应的温度梯度，有什么样的温度梯也表示介质内有对应的热流密度矢量。物理上更严格一些，这里所说的“流出（流入）的热量”指的是：以热的方式转移（传递）的能量。2.牛顿冷却定律单位时间从物体表面单位面积流到周围介质的热量与物体表面与外界的温差成正比。Q=K[u(x,y,z,t)Σ-u0n,其中：u(x,y,z,t)Σ为物体表面温度，K0称为热交换系数，n为外法向。显然，当物体表面温度高于外界温度时，热量是流出的，故K0。牛顿冷却定律常用于确定边界条件热传导方程考虑一闭合曲面S围成的区域，该区域V内有某些区域单位时间单位体积内可释放出f的热量（如：燃烧、热核反应）。该区域的物质具有比热容c（单位质量物质升高单位温度所需的热量），物质质量密度为ρ。对该区域，有以下方程：u(x,y,z,t)表示温度，ut是温度的时间变化率（单位时间的温度增加）-Sq·nσ+Vfτ=V(ρτ)mcut上式左边的第一项为单位时间流入区域V内的热量，第二项为单位时间区域V内