复旦数学物理方法课件11积分变换法

11积分变换法积分变换在求解微分方程中最大的好处是将微分方程化为代数方程，从而可以轻易地求出函数的积分变换。当然，求得函数的积分变换后，还得做反变换才能得到函数本身。本章以Fourier变换为例，讨论积分变换在求解数理方程中的应用。11.1Fourier变换法Fourier变换通过一些例题讨论Fourier变换在求解数理方程中的应用。在这里我们均假设所求函数满足Fourier变换的条件。☺例1.一维无界弦横振动的初值问题utt-a2uxx=0-∞x∞,t≥0u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=ψ(x)这个问题已在上一章用行波法求解，其解由D'Almebert公式给出u(x,t)=12[φ(x-at)+φ(x+at)]+12ax-atx+atψ(ξ)ξ解：首先，应对那一个变量做Fourier变换？-∞x∞,0≤t∞：因而，常对x做Fourier变换，当然有时也对t做Fourier变换，但后者需要延拓至双无穷(-∞,+∞)。对泛定方程的x变量做Fourier变换：ℱ[u(x,t)]=u(k,t)=-∞∞u(x,t)-kxx利用微分定理：ℱ[uxx(x,t)]=(k)2u(k,t)=-k2u(k,t)对初始条件做Fourier变换：u(x,0)=φ(x)ut(x,0)=ψ(x)⟹u(k,0)=φ(k)ut(k,0)=ψ(k)定解条件变为：utt(k,t)+a2k2u(k,t)=0u(k,0)=φ(k)ut(k,0)=ψ(k)问题退化为：给定初条的二阶线性常系数常微分方程⟹u(k,t)=A(k)kat+B(k)-kat由初条：A(k)=12φ(k)+ψ(k)ka,B(k)=12φ(k)-ψ(k)ka故：u(k,t)=12φ(k)+ψ(k)kakat+12φ(k)-ψ(k)ka-kat做反Fourier变换：u(x,t)=12[φ(x+at)+φ(x-at)]+12a-∞x+atψ(ξ)ξ-12a-∞x-atψ(ξ)ξ其中利用了积分定理：-∞xf(t)t⟷1kf(k)或写成：ℱ-11kf(k)=-∞xf(t)t延迟定理：f(x+x0)⟷kx0f(k)或写成：ℱ-1kx0f(k)=f(x+x0)位移定理：f(k+k0)⟷-k0xf(x)或写成：ℱ-k0xf(x)=f(k+k0)思考：ℱ1xf(x)=？ℱ[xf(x)]=？与ℱ-11kf(k)和ℱ-1kf(k)有何关系（做变换：ℱ-1↔ℱ,x↔k,↔=-,f(x)↔f(k)）先利用延迟定理，再利用积分定理ℱ-1ψ(k)kkat=ℱ-1ψ(k)kxx+at=-∞xψ(ξ)ξxx+at=-∞x+atψ(ξ)ξ先利用积分定理，再利用延迟定理ℱ-1ψ(k)katk=-∞xℱ-1ψ(k)katξ=-∞xψ(ξ+at)ξ=-∞x+atψ(ξ)ξ☺例2.无界细杆的传热ut-a2uxx=f(x,t)-∞x∞,t≥0u(x,0)=φ(x),此问题无法用行波法求解解：对泛定方程的x变量做Fourier变换：定解条件变为：ut(k,t)+a2k2u(k,t)=f(k,t)u(k,0)=φ(k)非齐次常微分方程先求齐次方程的解：ut(k,t)+a2k2u(k,t)=0⟶ut(k,t)=c(k)-a2k2t,常数变易：u(k,t)=c(k,t)-a2k2t代入非齐次方程得：∂c(k,t)∂t-a2k2t=f(k,t)从而求出：c(k,t)=0tf(k,τ)a2k2ττ+c(k,0),由初条：c(k,0)=ut(k,0)=φ(k)=ℱ[φ(x)]从而：u(k,t)=φ(k)+0tf(k,τ)a2k2ττ-a2k2t做反Fourier变换，利用卷积定理：f1(x)*f2(x)⟷f1(k)f2(k)以及-a2k2t⟷12aπt-x2/4a2tφ(x)⟷φ(k)这里利用了：12π-∞∞-a2k2t-kxk=12π-∞∞-a2tk-x2a2t2-x24a2tk=12aπt-x2/4a2tu(x,t)=φ(x)*12aπt-x2/4a2t+ℱ-10tf(k,τ)-a2k2(t-τ)τ=12aπt-∞+∞φ(s)-(x-s)2/4a2ts+0tℱ-1f(k,τ)-a2k2(t-τ)又是两像函数乘积的反变换τ=12aπt-∞+∞φ(s)-(x-s)2/4a2ts来自初始条件的贡献+12aπ0tτt-τ-∞+∞f(s,τ)-(x-s)2/4a2(t-τ)s来自热源f(x,t)的贡献2z11a.nb☺例3.半无界细杆的传热ut-a2uxx=00≤x∞,t≥0u(x,0)=0u(0,t)=u0非齐次边条解：相比于上一个问题，这是个无热源的问题：f(x,t)=0，问题大为简化。如果是无界细杆，则可直接应用上题结果。对半无界，为应用无界的结果，必须做延拓。延拓也需要齐次边条，为此，令：u(x,t)=w(x,t)+u0w(x,t)满足：wt-a2wxx=0,x≥0w(x,0)=-u0x≥0w(0,t)=0I类齐次边条I类齐次边条：奇延拓Wt-a2Wxx=0,-∞x∞W(x,0)=φ(x),-∞x∞W(0,t)=0这里类似于波动问题，对Dirichlet齐次边条，作奇延拓：W(x,0)=φ(x)=-u0,x0u0,x0现在就可以利用上一题的结果：W(x,t)=12aπt-∞+∞φ(s)-(x-s)2/4a2ts,在x≥0区域，w(x,t)=W(x,t)满足w(x,t)定解条件中的前两个（方程与初条）u(x,t)=u0+12aπt-∞+∞φ(s)-(x-s)2/4a2ts=u0+u02aπt-∞0-(x-s)2/4a2tsI1-0∞-(x-s)2/4a2tsI2那么，这种奇延拓能否保证w(x,t)满足w(0,t)=W(0,t)=0？▲从物理上看：W(x,t)对应于无热源（绝热）一无限长细杆的热传导问题，温度分布由初始条件决定既然初始条件是个奇函数，相对于x=0点反对称，那么，在任何时刻，温度分布都应该是反对称，也即，在x=0处，温度为0。▲数学上，易验证：x=0时，I1=I2,u(x,t)=u0,w(x,t)=0▲问题：t=0时，u(x,t)~1t∞？与原初始条件u(0,t)=u0矛盾？非也！I1=-∞0-(x-s)2/4a2ts=2atx2at∞-ξ2ξ,其中：ξ=x-s2at=2at0∞-ξ2ξπ2-0x/2at-ξ2ξ=aπt1-erfx2at其中erf(x)=2π0x-s2s为误差函数。I2=aπt1+erfx2at,从而：I1-I2=-2aπterfx2at,u(x,t)=u01-erfx2atz11a.nb3limx∞erf(x)=1⟶limt0u(x,t)=0的确满足u(x,t)的初始条件。☺例4.已知空间电荷分布ρ(r)求空间电势。解：空间电势满足Poisson方程：∇2u=-ρ(r)ε对空间坐标做三维Fourier变换：ℱu(r)=u(k),ℱ∇u(r)=∞∇u(r)-k·r3r=∞∇u(r)-k·r-u(r)∇-k·r3r=∞nu(r)-k·rσlimr∞r2u(r)=0-u(r)-k-k·r3r=ku(k)三维：ℱ∇u(r)=ku(k)比较一维：ℱu(x)x=ku(k)∇2u=-ρ(r)ε∇2u=∇·∇uk·ku(k)=-k2u(k)=-ρ(k)ε,一维Fourier变换：f′(x)⟷kf(k)；三维Fourier变换：∇f(r)⟷kf(k),∇·g(r)⟷k·g(k),∇×g(r)⟷k×g(k),其中：k=kxex+kyey+kzez,k2=k·k=kx2+ky2+kz2,∇2u=-ρ(r)ε三维Fourier变换u(k)=1ερ(k)k2做三维反Fourier变换，利用1k2⟷14π1r（见§8.1节例题）从而：u(r)=14πεℱ-1ρ(k)*ℱ-11k2三维卷积=14πε-∞∞-∞∞-∞∞ρ(r)r-r′3r′——“却原来是司马发来的兵”，早已熟知的结果☺例5.半无界波动问题utt-a2uxx=00≤x∞,t≥0u(x,0)=0,ut(x,t)=0u(0,t)=f(t)本题已用行波法求解，现用Fourier变换法求之。解：我们只关心t≥0时的振动，延拓：v(x,t)=u(x,t)H(t),H(t)=1,t≥00,t0为阶跃函数v(x,t)满足：vtt-a2vxx=0v(x,0)=0,vt(x,t)=0v(0,t)=g(t),其中g(t)=f(t)H(t)定义于-∞t∞这样，v(x,t)在t≥0时满足的条件与u(x,t)相同。故可以求v(x,t),在t≥0时的v即为u，而v定义于-∞t∞，可对t变量作傅氏变换v的微分方程对t变量做Fourier变换：v(x,ω)=-∞∞v(x,t)-ωtt(ω)2v(x,ω)-a2vxx(x,ω)=0⟹v(x,ω)=A(ω)ωx/a+B(ω)-ωx/a做反Fourier变换时，第一项出现A(t+x/a)，为左行波。但v(x,0)=0,vt(x,t)=0，并且扰动来自x=0，x0区域不可能出现左行波。故第一项不合题意，舍去（这里还是得用点物理分析）。4z11a.nb因而：v(x,ω)=B(ω)-ωx/a由边条：v(0,t)=g(t)Fourier变换v(0,ω)=g(ω)⟶B(ω)=g(ω)⟶v(x,ω)=g(ω)-ωx/a反Fourier变换：v(x,t)=g(t-x/a)=f(t-x/a)H(t-x/a)对t0,u(x,t)=v(x,t)=f(t-x/a)H(t-x/a)。与行波法的结果相同。☺例6.半无限长的匀质细杆侧面绝热，x=0端有热流强度q0sinω0t的热流流入，求长时间后的温度分布。解：注意长时间后的分布不等于稳定分布（因为边条与时间有关，不可能达到稳定），长时间后的只表明解与初始条件无关，故无需初条。对应于振动问题，相当于求长时间后的受迫振动问题，这时仅剩下策动频率的振动（参见第十章强迫振动例题）对于传热问题，要求解定解问题定解条件：ut-a2uxx=00≤x∞,ux(0,t)=-q0ksinω0t,limx∞u(x,t)≠∞在定解条件中，所有物理量，即：u(x,t),a,q0,k，均为实数。令：u(x,t)=Im[U(x,t)],U(x,t)满足：Ut-a2Uxx=0Ux(0,t)=-q0kω0t显然，将U的定解条件取虚部即可证明：U(x,t)的虚部满足u(x,t)的定解条件因此，只需从U的定解条件，解出U(x,t),再求其虚部即得u(x,t)。对时间变量t做Fourier变换：ℱ[U(x,t)]=-∞∞U(x,t)-ωtt=U(x,ω)得(ω)U(x,ω)-a2Uxx(x,ω)=0Ux(0,ω)=-q0k2πδ(ω-ω0)⟹U(x,ω)=A(ω)(1+)2ωax+B(ω)-(1+)2ωax其中利用了：ℱω0t=-∞∞ω0t-ωtt=-∞∞-(ω-ω0)tt=2πδ(ω-ω0)x∞时，U(x,t)应有限，故U(x,ω)的第一项的系数A(ω)=0⟹U(x,ω)=B(ω)-(1+)2ωax由边条：Ux(0,ω)=-q0k2πδ(ω-ω0)⟶B(ω)=q0k2aπ(1+)2ωδ(ω-ω0)⟶U(x,ω)=q0k2aπ(1+)2ω0-(1+)2ω0axδ(ω