复旦数学物理方法课件12正交曲线坐标系

12正交曲线坐标系分离变量法是求解数理方程（偏微分方程）的常用方法。在分离变量法中，我们需要齐次边条，再把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条，进而求解本征值问题。例如：当边界在x=a平面时，在直角坐标系中，我们可以轻易地把多元函数的I类齐次边条化为单变量函数的齐次边条u(x,y,z,t)x=a=0u(x,y,z,t)=X(x)Y(y)Z(z)T(t)X(x)Y(y)Z(z)T(t)x=a=0⟶X(a)=0但如果边界是球面，取直角坐标系显然不能把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条。直角坐标系将得到：u(x,y,z,t)x2+y2+z2=a2=0u(x,y,z,t)=X(x)Y(y)Z(z)T(t)X(x)Y(y)Z(z)T(t)x2+y2+z2=a2=0无法得到单变量函数的齐次边条。这时应该取球坐标(r,θ,ϕ)，在球坐标中进行分离变量，从而有：u(r,θ,ϕ,t)r=a=0u(r,θ,ϕ,t)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T(t)R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T(t)r=a=0⟶R(a)=0所以，要利用分离变量法，应该取合适的坐标系，使得边界在所取的坐标系中对应于某一个坐标变量等于常数。这样才能把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条，从而利用齐次边条定出本征值、本征函数。所以我们有以下结论：体系的边界决定了我们应该取什么样的坐标系。或者，说得更迷人或更迷蒙一点，体系的对称性决定了坐标系。对Laplace方程（波动方程可化为Helmholtz方程，比Laplace方程稍微复杂，分离变量的做法相同），数学上证明了：只有在11种坐标系中才能通过分离变量求解。这11种坐标系包括（常用的）：直角坐标系、球坐标系、圆柱坐标系当然还有：椭圆柱坐标系、抛物柱面坐标系、扁球面坐标系、长球面坐标系、圆锥坐标系等等。因为我们要在球坐标系、圆柱坐标系中应用分离变量法，为此我们需要了解一些曲线坐标系的常识，如：梯度、散度、旋度、特别是Laplacian（∇2）的表达形式，因为数理方程大多涉及Laplacian（∇2）运算。这里的推导没有涉及各种几何意义，可作为大部分数学教材的一种alternative。12.1正交曲线坐标系直角坐标系中的矢量分析公式先回顾直角坐标系的矢量分析公式。除特别说明，以下公式中隐含了对重复指标求和（Einstein求和约定）。位置矢量、微分线元：对空间上以直角坐标(x,y,z)表征的任意一点P，位置矢量：r=xex+yey+zez=xiei，为从坐标原点到P点的矢量。其中x1=x,x2=y,x3=ze1=ex,e2=ey,e3=ez为直角坐标的三个基矢，这三个基矢与空间点的位置无关，长度为1。微分线元：r=exx+eyy+zezz=eixi，因坐标{xi}发生变化导致的位置矢量的变化上式表明：若保持其它坐标不变，只让坐标xi发生一微小变化，位置矢量沿ei方向移动了长度xi梯度：对标量函数φ(x,y,z)∇φ(x,y,z)=∂φ∂xex+∂φ∂yey+∂φ∂zez=ei∂iφ,其中x1=x,x2=y,x3=z,∂iφ≡∂φ∂xi,e1=ex,e2=ey,e3=ez性质：全微分φ=∂φ∂xx+∂φ∂yy+∂φ∂zz=[∇φ(x,y,z)]·r,其中r=eixi为微分线元上式表明：因坐标{xi}变化导致函数的变化φ，等于该函数的梯度与位置矢量的微分线元r之标量积。又：让位置矢量沿某方向el做一微小变化：r=ell，函数值的变化为：φ=[∇φ(x,y,z)]·r=[∇φ(x,y,z)]·ell⟹φl=el·∇φ(x,y,z)上式表明：梯度与任意方向单位矢量的标量积等于函数沿该方向的方向导数。以上两个性质作为是推导一般坐标系中梯度、散度、旋度和Laplacian等各种表达式的基础。散度：对矢量函数V(x,y,z)=V1(x,y,z)ex+V2(x,y,z)ey+V3(x,y,z)ez=Viei∇·V(x,y,z)=∂V1∂x1+∂V2∂x2+∂V3∂x3=∂iVi,其中∂iVi=∂Vi∂xi旋度：对矢量函数V(x,y,z)=V1(x,y,z)ex+V2(x,y,z)ey+V3(x,y,z)ez=Viei∇V(x,y,z)=e1e2e3∂1∂2∂3V1V2V3=e1∂V3∂x2-∂V2∂x3+e2∂V1∂x3-∂V3∂x1+e3∂V2∂x1-∂V1∂x2=ϵijkei∂jVk,∇V(x,y,z)i=ϵijk∂jVk=∂jVkϵjki其中ϵijk为Levi-Civita符号：ϵijk=1若下标ijk=123及其循环置换-1若下标ijk=321及其循环置换0其它Levi-Civita符号满足：ab=ϵijkeiajbk或更简单些：ei·ab=ϵijkajbkϵijk=-ϵjik=-ϵikj=-ϵkji任意两下标互换，差一负号ϵijkϵmnk=δimδjn-δinδjmϵijkϵmjk=δimδjj-δijδjm=3δim-δim=2δimLaplacian：对标量函数φ(x,y,z)∇2φ(x,y,z)=∂2φ∂x12+∂2φ∂x22+∂2φ∂x32=∂i∂iφ,其中∂iφ=∂φ∂xiLaplacian∇2的平移、转动不变性容易看出，Laplacian在坐标平移变换下是不变的坐标平移：xi′=xi+αii=1,2,3,满足：∂xj∂xi′=δij定义：∂iφ=∂φ∂xi,∂i′φ=∂φ∂xi′2z12a.nb显然：∂i′φ=∂φ∂xi′=∂φ∂xk∂xk∂xi′=∂φ∂xkδik=∂φ∂xi=∂iφ从而：Laplacian∇2φ=∂i∂iφ=∂i′∂i′φLaplacian在转动变换下也是不变的对于一个由Euler角(α,β,γ)确定的转动，空间同一点新旧坐标的变换关系为：xi′=Aijxj转动矩阵：A=cosαcosβcosγ-sinαsinγ-cosαcosβsinγ-sinαcosγcosαsinβsinαcosβcosγ-cosαsinγ-sinαcosβsinγ+cosαcosγsinαsinβ-sinβcosγsinβsinγcosβ转动矩阵满足：AT=A-1⟹Aij-1=Aji,xj=Aji-1xi′⟹∂i′φ=∂φ∂xi′=∂xj∂xi′∂φ∂xj=Aji-1∂jφ=Aij∂jφ∂i′∂i′φ=∂i′[Aik∂kφ]=Aik∂k∂i′φ=Aik∂k[Aij∂jφ]=AikAij∂k∂jφ=Aki-1Aij∂k∂jφ=δjk∂k∂jφ=∂j∂jφ正交曲线坐标系空间上的任意一点P可以用直角坐标(x,y,z)或(x1,x2,x3)表征。若果存在一组独立、连续、可微的单值函数u1=f1(x1,x2,x3),u2=f2(x1,x2,x3),u3=f3(x1,x2,x3)并且其反函数x=x1=f1(u1,u2,u3),y=x2=f2(u1,u2,u3),z=x3=f3(u1,u2,u3)也独立、连续、可微、单值，那么P点的坐标就也可以用(u1,u2,u3)表征，因为(x1,x2,x3)与(u1,u2,u3)一一对应。(u1,u2,u3)称为空间点P的曲线坐标。用曲线坐标来描述空间任意点位置的坐标系称为曲线坐标系。典型的曲线坐标系如：圆球坐标系：x=rsinθcosϕy=rsinθsinϕz=rcosθu1=r=x2+y2+z21/2u2=θ=cos-1zr,ρ=x2+y21/2u3=ϕ=cos-1xρ,y≥02π-cos-1xρ,y0圆柱坐标系：x=ρcosϕy=ρsinϕz=zu1=ρ=x2+y21/2u2=ϕ=cos-1xρ,y≥02π-cos-1xρ,y0u3=z三个函数独立的要求为：Jacobi行列式不等于0。J=∂(u1,u2,u3)∂(x1,x2,x3)=∂u1∂x1∂u1∂x2∂u1∂x3∂u2∂x1∂u2∂x2∂u2∂x3∂u3∂x1∂u3∂x2∂u3∂x3≠0z12a.nb3在直角坐标系和一般曲线坐标系中，位置矢量r分别表为：r=eixi=r(x1,x2,x3)=r(u1,u2,u3),e1=ex,e2=ey,e3=ez。即：位置矢量r是坐标的矢量函数。由于坐标变化导致位置矢量的变化，称为微分线元r，表为全微分形式r=∂r(x1,x2,x3)∂xixi=eixi=∂r(u1,u2,u3)∂uiui=aiui,其中：∂r(x1,x2,x3)∂xi=ei,∂r(u1,u2,u3)∂ui=ai显然，∂r(x1,x2,x3)∂xi即为直角坐标中三个单位长度的基矢，因为r=eixi中的ei为常矢量。现在来看ai的方向。以a1为例。a1=∂r(u1,u2,u3)∂u1定义式=∂x1(u1,u2,u3)∂u1e1+∂x2(u1,u2,u3)∂u1e2+∂x3(u1,u2,u3)∂u1e3=∂xi∂u1eia1的几何意义：在空间某点，保持坐标u2和u3不变，仅让坐标u1作一微小变化，位置矢量r相对于u1的变化率。而保持坐标u2和u3不变，让坐标u1变化，点在空间的轨迹（跑出的曲线）称为坐标曲线u1。显然，坐标曲线u1由下列参数方程给出x1=f1(u1,u2,u3)x2=f2(u1,u2,u3)x3=f3(u1,u2,u3),因此坐标曲线u1的切向为：∂x1∂u1e1+∂x2∂u1e2+∂x3∂u1e3=a1所以，坐标曲线u1的切向就是a1=∂r(u1,u2,u3)∂u1的方向（此处是方向相同，大小尚未归一）。通常，取坐标曲线u1切向的单位矢量作为曲线坐标系的一个基矢u1，因此，曲线坐标系的三个基矢为：ui=aiai=aihi,hi=ai=∂x1∂ui2+∂x2∂ui2+∂x3∂ui2,利用了ai=∂x1∂uie1+∂x2∂uie2+∂x3∂uie3这里在直角坐标系中利用Pythagorean定理求得ai的长度hi并进行归一化得uir=eixi=aiui=hiuiui,ai=ek∂xk∂ui注意曲线坐标系的基矢ui尽管长度均为1，但是其方向与空间位置有关，依然是{u1,u2,u3}的函数即：曲线坐标系的基矢ui可能不是常矢量。（尽管其长度已归一化，方向会变。）这一点不同于直角坐标系，后者的三个基矢ei都是常矢量。微分线元r的长度，利用直角坐标系中ek·ek′=δkk′r·r=eixi·ejxj=ei·ejxixj=xixi=aiui·ajuj=ai·ajuiuj=ek·ek′∂xk∂ui∂xk′∂ujuiuj=∂xk∂ui∂xk∂ujuiuj=gijuiujgij=ai·aj=∂xk∂ui∂xk∂uj=∂x1∂ui∂x1∂uj+∂x2∂ui∂x2∂uj+∂x3∂ui∂x3∂uj,gij构成的矩阵称为度规。度规的对角元gii=hi2（注意这里gii的两个重复指标不求和）如果gij=ai·aj=hi2,i=j0,i≠j，则对应的曲线坐标系称为：正交曲线坐标系对正交曲线坐标系：r·r=xixi=hi2uiui（注意这里三个重复指标仅对i求和一次）4z12a.nb对正交曲线坐标系，总可以对三个两两正交的单位矢量：u1,u2,u3的下标进行适当的调整，使得：u1×u2=u3,u2×u3=u1,u3×u1=u2这种正交曲线坐标系称为右手系。212313Take-homemessage，对正交曲线坐标系，有：r=eixi=aiui=hiuiui,r·r=xixi=gijuiuj正交系hi2uiui,hi=∂x1∂ui2+∂x2∂ui2+∂x3∂ui21/2几何意义：若仅仅让第i个坐标ui作微小变化ui，对应的微分线元长度为：hiui不是ui因