复旦数学物理方法课件13球函数

13球函数球坐标系(r,θ,ϕ)中Helmholtz方程经分离变量为∇2w(r,θ,ϕ)+λw(r,θ,ϕ)=0w(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)Φ″+γΦ=01sinθθ(sinθΘ′)+l(l+1)-γsin2θΘ=0rr2R′+λr2-l(l+1)R=0包含了γ,l(l+1)与λ三个分离变量常数，其中λ为时空分离引进的分离变量常数。求解这些分离变量常数并确定相应的微分方程之解的过程，称为求解微分方程的本征值问题。如何求解？化三元函数的边值问题为单元函数的边值问题，再求分离变量常数应取何值，才存在满足边条的单元函数解。首先，Φ满足的方程最为简单，利用Φ的周期条件可确定本征值γ及相应的本征函数。Φ″+γΦ=0Φ(ϕ+2π)=Φ(ϕ)⟶γ=m2,Φm(ϕ)=Am′cosmϕ+Bm′sinmϕ或Φm(ϕ)=Ammϕ+Bm-mϕ,m=0,1,2,…接下来，就是利用Θ满足的微分方程及边界（自然）条件确定本征值l(l+1)。对Θ满足的微分方程做变换：x=cosθ,y(x)=Θ(θ)，则Θ满足的微分方程：1sinθθ(sinθΘ′)+l(l+1)-m2sin2θΘ=0(1.1)化为：x1-x2yx+l(l+1)-m21-x2y=0——连带(associated)Legendre方程(1.2)本章讨论连带Legendre方程的求解、解的性质、解的推广以及其在球坐标分离变量法中的应用。以下一小段Mathematica代码将Θ满足的微分方程(1.1)化为连带Legendre方程。sim1={xCos[θ]};sim2={θArcCos[x]};eq=1Sin[θ]D[Sin[θ]D[y[x]/.sim1,θ],θ]+l(l+1)-m2Sin[θ]2y[x];eq=FullSimplify[eq/.sim2,{0θπ}];c2=Simplify[Coefficient[eq,y''[x]]];c1=Simplify[Coefficient[eq,y'[x]]];c0=Simplify[Coefficient[eq,y[x]]];(c2y''[x]+c1y'[x]+c0y[x])//TraditionalFormy(x)l(l+1)x2-1+m2x2-1+1-x2y′′(x)-2xy′(x)13.1Legendre方程的解当连带Legendre方程(1.2)中m=0时，方程退化为Legendre方程（参见§6.3）x1-x2yx+l(l+1)y=0——Legendre方程(1.3)这个方程对应于轴对称物理问题，这时问题的解与方位角ϕ无关，Φ=常数，对应于m=0。Legendre方程有三个正则奇点：x=±1及x=∞。而x=0是方程的常点。在微分方程常点邻域，根据FrobeniusandFuchs定理，方程有两个以下形式的线性无关解y(x)=k=0∞ckxk在§6.3已求出，Legendre方程的两个线性独立解为y0(x)=c0k=0∞22k(2k)!-l2kl+12kx2k,y1(x)=c1k=0∞22k(2k+1)!-l-12kl2+1kx2k+1,其中c0和c1为常数，(a)n为Pochhammer符号：(a)n=a(a+1)(a+2)⋯(a+n-1)n项相乘=Γ(a+n)Γ(a)这里的Legendre方程来自变量代换x=cosθ，在θ=0,π(即x=±1)，物理量应有限，对应的微分方程的解应该收敛。但Legendre方程在x=±1是正则奇点，故F-F定理仅保证在x1方程的级数解收敛（有界），不能保证在一般情况下（对任意的l值），微分方程的解在x=±1有界。因此，需要探讨在什么条件下，y0(x)和/或y1(x)在x=±1收敛（有界）。——寻找Legendre方程在x=±1时有界（符合物理要求）的解。寻找Legendre方程在x=±1处有界的解对一般的l值，y0(x)相邻两项之比为y0(x)=k=0∞ak=c0k=0∞22k(2k)!-l2kl+12kx2k⟶limk∞ak+1ak=limk∞22-l2+k1+l2+kx2(2k+1)(2k+2)=limk∞2k(2k+1)-l(l+1)(2k+1)(2k+2)x2=x2故据比值判别法，只能证明级数y0(x)在x1收敛。2z13a.nb对x=±1,比值判别法无法判别。利用高斯判别法k∞时，akak+1=(2k+1)(2k+2)2k(2k+1)-l(l+1)=(2k+1)(2k+2)2k(2k+1)1-l(l+1)2k(2k+1)∼1+1k1+l(l+1)2k(2k+1)∼1+1k+o1k2由高斯判别法，级数发散（无界）。注：对y0(x)，当k足够大时，级数的每一项都是正的，收敛与绝对收敛是一致的。类似可证，y1(x)在x=±1也是无界的。从而，在x=±1处的有界条件限制了l不可以随便取值——原来除了齐次边条之外还可以通过自然边条确定本征值和本征函数。观察：y0(x)=c0k=0∞22k(2k)!-l2kl+12kx2k,y1(x)=c1k=0∞22k(2k+1)!-l-12kl2+1kx2k+1,y0(x)含有-l2k因子，若l为0或正偶数2n，则：-l2k=(-n)⋯(-n+k-1)=0ifk-1≥n，无穷级数退化为从k=0到k=n的n+1项多项式，且每一项都是x的2k幂次，多项式y0(x)x=±1有界。类似地，由y1(x)知，若l为正奇数2n+1，则：-l-12k=(-n)⋯(-n+k-1)=0ifk≥n+1无穷级数仅剩下从k=0到k=n的n+1项，且每一项都是x的2k+1幂次，多项式y1(x)x=±1有界。因此，若要得到在x=±1处有界的解，l必须取自然数。当l为偶数时，Legendre方程(1.3)有一个在x=±1有界的解，y0(x)，它为只含有偶幂次项x2kk=0,1,...l2的l次多项式；当l为奇数时，Legendre方程(1.3)有一个在x=±1有界的解，y1(x)，它是只含有奇幂次项x2k+1k=0,1,...l-12的l次多项式。于是，人们就把Legendre方程在x=±1处有界的这个解记为：Pl(x)，称为Legendre多项式，其中l为自然数。注意l为偶数时，Pl(x)=y0(x),仅含偶次幂，l为奇数时，Pl(x)=y1(x),仅含奇次幂。最高幂次均为l。但即使l为自然数，Legendre方程的另一个线性独立解在x=±1处仍是无界的，这个解记为：Ql(x)，称为第二类Legendre函数（它不是多项式，是无穷级数）。当然，若l不为自然数，Pl(x)在x=±1处是无界的，这时它也不称为Legendre多项式，称为第一类Legendre函数◼从y0(x)与y1(x)的表达式可知，y0(x)=c0k=0∞22k(2k)!-l2kl+12kx2k,y1(x)=c1k=0∞22k(2k+1)!-l-12kl2+1kx2k+1,前面的处理针对于上式的紫色因子，对蓝色因子，岂不也可作类似的讨论：当l为负奇数时，l=-(2n+1)时，l+12k=(-n)⋯(-n+k-1)=0ifk≥n+1y0(x)仍退化为2n次多项式，即退化为2n=l-1=-l-1=l′次多项式当l为负偶数时，l=-2n时，l2+1k=(-n+1)⋯(-n+1+k-1)=0ifk≥ny1(x)仍退化为2n-1次多项式，即退化为l-1=-l-1=l′≥0次多项式z13a.nb3因此：当l为负整数时，Legendre方程仍有一个在x=±1处有界的解，该解为l′=l-1=-l-1≥0次多项式。l为偶（奇）数时，仅有奇（偶）次幂。最高幂次为：l′=-l-1该多项式满足Legendre方程：x1-x2yx+l(l+1)y=0l′=-l-1l′(l′+1)=l(l+1)x1-x2yx+l′(l′+1)y=0比较可知：l为负整数时的解等价于l′=-l-1≥0的解。也就是说，l为负整数并不给出新的解。例如：l=-5的解与l=-l-1=4的解完全相同，l=-6的解与l=-l-1=5的解完全相同。这一点与求解方程Φ″+m2Φ=0时并不需要考虑m0时的解类似。因此，在以后的讨论中就不再讨论l为负整数时的解，因为其解等价于正整数l′=l-10的解。即：当l0时，Pl(x)=Pl-1(x)=P-l-1(x)Simplify[LegendreP[-5,x]-LegendreP[4,x]]FullSimplify[LegendreP[n,x]-LegendreP[-n-1,x],{n∈Integers,n0}]00◼到目前为止，我们还没有给定c0与c1y0(x)=c0k=0∞22k(2k)!-l2kl+12kx2k,y1(x)=c1k=0∞22k(2k+1)!-l-12kl2+1kx2k+1,其实无论c0与c1取什么常数，y0(x),y1(x)均为Legendre方程的解。数学上，通过Pl(x)x=1=Pl(1)=1来确定c0与c1。（为何不是直接让c0=c1=1？下面解释）Clear[l,n,k];l=2n;res0=Sum22kPochhammer-l2,kPochhammer(l+1)2,k(2k)!,{k,0,n}l=2n+1;res1=Sum22kPochhammer-(l-1)2,kPochhammerl2+1,k(2k+1)!,{k,0,n}(-1)nπn!12(-1+2n)!(-1)nπn!212(1+2n)!4z13a.nb分母为半奇数的阶乘？非整数的阶乘是个什么东东？原来是Γ函数的另一种写法。FullSimplify[res0]c0=FullSimplify[1/res0,n∈Integers];c1=FullSimplify[1/res1,n∈Integers];FullSimplify[c1/c0](-1)nπn!Gamma12+n1+2n数学上可以证明：：l=2n，取c0=(-1)n(2n)!22n(n!)2,则：y0(1)=1l=2n+1，取c1=(-1)n(2n+1)!22n(n!)2,则：y1(1)=1⟶Pl(1)=1l为奇数和偶数时，Pl(x)分别等于y0(x)=c0k=0∞22k(2k)!-l2kl+12kx2ky1(x)=c1k=0∞22k(2k+1)!-l-12kl2+1kx2k+1两个表达式，不方便。以下把它化成一个统一的表达式。当l为偶数时：设l=2nPl(x)=y0(x)=c0k=0∞22k(2k)!-l2kl+12kx2k,l=2n=(-1)n(2n)!22n(n!)2k=0n22k(2k)!(-1)kn!2k(n-k)!(2n+2k)!n!2k(2n)!(n+k)!x2k,令：k=n-r=(-1)n2lr=0n1(l-2r)!(-1)n-r1r!(2l-2r)!(l-r)!xl-2r=12lr=0n(-1)rr!(2l-2r)!(l-r)!(l-2r)!xl-2r以下代码验证Pl(1)=1Clear[l,n,r];l=2n;Sum(-1)r(2l-2r)!2lr!(l-r)!(l-2r)!,{r,0,n}1当l为奇数时：设l=2n+1Pl(x)=y1(x)=c1k=0∞22k(2k+1)!-l-12kl2+1kx2k+1,l=2n+1z13a.nb5=(-1)n(2n+1)!22n(n!)2k=0n22k(2k+1)!(-1)kn!2k(n-k)!(2n+2+2k)!(n+1)!2k(2n+2)!(n+1+k)!x2k+1,令：k=n-r=(-1)n22n+1r=0n1(l-2r)!(-1)n-r1r!(2l-2r)!(l-r)!xl-2r=12lr=0n(-1)rr!(2l-2r)!(l-r)!(l-2r)!xl-2r以下代码验证Pl(1)=1Clear[l];l=2n+1;Sum(-1)r(2l-2r)!2lr!(l-r)!(l-2r)!,{r,0,n}1这样，两个表达式