高中导数题型总结

高中导数题型总结首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根;第二步：画两图或列表;第三步：由图表可知;其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0,第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，(1)若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数得(1)在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：∵当时,恒成立,当时,恒成立等价于的最大值()恒成立，而()是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)请同学们参看2010第三次周考：例2：设函数(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.(二次函数区间最值的例子)解：(Ⅰ)令得的单调递增区间为(a,3a)令得的单调递减区间为(-，a)和(3a，+)∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.(Ⅱ)由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴(放缩法)即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数.(9分)∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为，(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)当时，求的值域;(Ⅲ)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解：(Ⅰ)∴，解得(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又∴的值域是(Ⅲ)令思路1：要使恒成立，只需，即分离变量思路2：二次函数区间最值二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集;做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知，函数.(Ⅰ)如果函数是偶函数，求的极大值和极小值;(Ⅱ)如果函数是上的单调函数，求的取值范围.解：.(Ⅰ)∵是偶函数，∴.此时，，令，解得：.列表如下：(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0-0+递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为，的极小值为.(Ⅱ)∵函数是上的单调函数，∴，在给定区间R上恒成立判别式法则解得：.综上，的取值范围是.例5、已知函数(I)求的单调区间;(II)若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想(I)1、当且仅当时取“=”号，单调递增。2、单调增区间：单调增区间：(II)当则是上述增区间的子集：1、时，单调递增符合题意2、，综上，a的取值范围是[0，1]。三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;第三步：解不等式(组)即可;例6、已知函数，，且在区间上为增函数.求实数的取值范围;若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.解：(1)由题意∵在区间上为增函数，∴在区间上恒成立(分离变量法)即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为(2)设，令得或由(1)知，①当时，，在R上递增，显然不合题意…②当时，，随的变化情况如下表：—↗极大值↘极小值↗由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得综上，所求的取值范围为根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数(1)若是的极值点且的图像过原点，求的极值;(2)若，在(1)的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在，求出实数的取值范围;否则说明理由。解：(1)∵的图像过原点，则，又∵是的极值点，则(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：整理得：即：恒有含的三个不等实根(计算难点来了：)有含的根，则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根。题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数例7、已知函数在点处取得极小值-4，使其导数的的取值范围为，求：(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.(1)由题意得：∴在上;在上;在上因此在处取得极小值∴①，②，③由①②③联立得：，∴(2)设切点Q，过令，求得：，方程有三个根。需：故：;因此所求实数的范围为：题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、解：函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时，f(x)=x3-x2+10x，=x2-7x+10，令，解得或.令，解得可知函数f(x)的单调递增区间为和(5，+∞)，单调递减区间为.(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,要使函数y=f(x)在(1，+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞)根分布问题：则，解得m3例9、已知函数，(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.解：(1)当时，令解得，令解得，所以的.递增区间为，递减区间为.当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.(2)有且仅有3个极值点=0有3个根，则或，方程有两个非零实根，所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点其它例题：1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是-11.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)若时，恒成立，求实数的取值范围.解：(Ⅰ)令=0,得因为，所以可得下表：0+0-↗极大↘因此必为最大值,∴因此，，即，∴，∴(Ⅱ)∵，∴等价于，令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].2、(根分布与线性规划例子)(1)已知函数(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解：(Ⅰ).由,函数在时有极值,∴∵∴又∵在处的切线与直线平行,∴故∴…………………….7分(Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,∴即令,则∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,易得,,,,,同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,由得点F的横坐标为:由得点G的横坐标为:∴即解得:或(舍去)故这时直线方程为:综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分(Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,∴即令,则∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,易得,,,,,同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,由得直线L与AC交点为:∵,,∴所求直线方程为:或3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式;(Ⅲ)若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。解：由题知：(Ⅰ)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且=0得(Ⅱ)依题意=–3且f(2)=5解得a=1,b=–6所以f(x)=x3–6x2+9x+3(Ⅲ)依题意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a0)=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)由①②得–25a+3所以当4、(根的个数问题)已知函数(1)若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间;(2)若，讨论曲线与的交点个数.解：(1)………………………………………………………………………2分令得令得∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分(2)由题得即令……………………6分令得或……………………………………………7分当即时-此时，，，有一个交点;…………………………9分当即时，∴当即时,有一个交点;当即时，有两个交点;当时，，有一个交点.………………………13分综上可知，当或时，有一个交点;当时，有两个交点.…………………………………14分5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数.(Ⅰ)若函数在处有极值，求的解析式;(Ⅱ)若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围.