06-07微积分BII期末(答案)zucc 浙江大学城市学院_

第1页共6页诚信应考考出水平考出风格浙江大学城市学院2006—2007学年第二学期考试试卷《微积分（B）II》开课单位：计算分院；考试形式：闭卷；考试日期：07年7月10日；时间：120分钟题序一二三四五六总分得分评卷人一．微分方程问题(本大题共3题，每题5分，共15分)1．求解微分方程20(4)2,1xyxxyy.解：222(4)2,　　(4)dydyxxxydxdxyx；122222121,　4(4)(4)lnln4,　　4,　cdyxdydxdxyxyxyxCyex记1cCe，得通解：24yCx，由01xy，得14C，所以微分方程特解为2144yx点评：此题考可分离变量微分方程掌握情况。可分离变量微分方程的关键是将方程通过因式分解，使,xy“分家”，变成：()()fydygxdx形式，然后积分。本题还要注意1cCe的变化。2.求解微分方程22xyxyxe.解:2()2,()xpxxqxxe,222222222222(2)(2)22221241144xdxxdxxxxxxxxxxxxxyexeedxCexeedxCexedxCeedxCeeCeCe点评：本题为典型的一阶线性微分方程()()ypxyqx，这类方程只要记住公式：()()()pxdxpxdxyeqxedxC注意公式中三个不定积分计算后不需要另再加积分常数，因为本公式中已经有C了。如果这个公式不能记住，那下学期只好跟着唐老师重修了。得分年级：_____________专业：_____________________班级：_________________学号：_______________姓名：__________________…………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………年级：_____________专业：_____________________班级：_________________学号：_______________姓名：__________________…………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………第2页共6页3.求解微分方程2xyye.解：设yp，得2xppe，222323211　33dxdxxxxxxxxpeeedxCeedxCeeCeCe即22221,3111332xxxxxxyeCeyeCedxeCeC通解为：21213xxyeCeC点评：对可降阶的三种二阶微分方程如何求解问题必需掌握。另外注意二阶微分方程的通解中一定有二个不可合并的任意常数，否则拜托，一定有错！二.向量与空间解析几何问题(本大题共4题,每题5分，共20分)1．设向量1,1,0,2,1,0ab，求ab，并求b。110210ijkabk，b＝5点评：如果连ab，ab，,oaa，ab与的夹角等都不会求，那恐怕不是重修的问题了。2．求直线22212xyz与平面:210xyz的交点P，并求经过P点且与垂直的直线方程。解：解方程22212210xyzxyz即可得交点，令22212xyzt，得222,2xtytzt代入210xyz得：77t，1t，交点为(0,1,2)，所求直线的一个方向即平面:210xyz的一个法向：{2,1,1}，因此经过P点(0,1,2)且与垂直的直线方程为：12211xyz点评：平面的点法式方程和直线的点向式方程是二个最基本的问题，必需会做。另外，千万看清是求直线方程还是求平面方程，二者不要混淆了（每年大概有２０%同学会混淆）得分第3页共6页3.方程22224xyz是什么图形，求该方程与,,xyz轴在第一卦限的交点,,PQR，并求经过,,PQR的平面方程。解：此图形乃椭球面也。将0,0yz代入22224xyz得P点坐标(2,0,0)，同理可得Q点坐标为(0,2,0)，R点坐标为(0,0,2)所求平面方程为：1222xyz点评：本题题目稍有欠缺，因为,,xyz轴不可能在第一卦限，似乎应将第一卦限改为正轴较好。但这也不影响对问题的理解。学了空间解析几何，几个常见的曲面：球面，椭球面，抛物面，各类柱面，旋转面（包括怎么旋转得到）等它们的方程总应该记记牢，另外平面的截距式方程1xyzabc似乎也是很容易记住。4．将直线的一般式方程212xyzxyz化为点向式方程与参数方程。解：曲线上取一点(1,1,0)，直线的一个方向：21133111ijksjk点向式方程：11033xyz；参数方程：131.3xytzt点评：习题册上一模一样的题目占30%，你复习时总要看看的。三．多元函数微分学问题(本大题共5题，每题5分，共25分)1．设arctanyzx,求22,zzxy.解：222211zyyxxxyyx，222222zyxyxy点评：送分题。只要一元微积分的导数会求，那么对某个变量的偏导数就是将其他变量当作常数来求导就行了，注意偏导数的四种记号都要熟悉，这可不是“茴香豆的茴字有四种写法”。2．设(1)yzxy，求,zzxy。解：zx121(1)(1)yyyxyyyxyln(1)yxyze，ln(1)ln(1)1yxyz**exyyxy＝(1)yxyln(1)1xyxyxy点评：求zy是幂指函数的求导问题，在求导之前先对函数采用ln()()fxfxe变换，可是老生常谈了。得分第4页共6页3．设22(,)zxyxy，其中具有二阶连续偏导数，求,.zzxy解：22212122212122;.2xyxyzyxxxxxyxyzxyyyy点评：多元复合函数求导的链式法则，只要12,记号弄清楚，没难度可言4．设2224,xyz求,.(1,1,2)(1,1,2)zzxy解：记222(,,)4,Fxyzxyz(1,1,2)21;22xzFzxxzxFzzx(1,1,2)21;22yzFzyyzxFzzy点评：公式套套。只要记住隐函数求导的公式就可以毫不费力解此题5.求曲面3zezxy在点(2,1,0)M处的切平面方程与法线方程.解：(,,)3,zFxyzezxy(,,),xFxyzy(,,),yFxyzx(,,)1,zzFxyze在(2,1,0)M处切平面的一个法向(2,1,0),,(1,2,0)xyzFFF切平面方程：22(1)0;xy即240;xy法线方程：21120xyz。点评：曲面的切平面方程与法线方程.，空间曲线的切线与法平面方程求法如果没记牢的话再去记一记。四.重积分问题(本大题共4题，每题5分，共20分)1.求2Dxdy，D由2,yyx与1xy所围。2222241111349　　　　　72yyDxxddydxyydyyy点评：求二重积分的关键是画出积分区域，然后应用公式。此题是书中P107页7(5)原题。书中的题目也要做做的。得分第5页共6页2．计算二重积分sinDxdx，其中D由21yx与直线1,1xy所围成.见习题册p40页(4)3．求由旋转抛物面222zxy与22zxy所围立体的体积。答案见书中P105例2.4．求三重积分22xydv,其中是22zxy与2z所围的空间区域.解：2222222xyDxydvxydzd（其中D为平面区域22(,)|4xyxy222222002283Dxyxyddrrrdr五．曲线积分与曲面积分问题(本大题共3题，每题5分，共15分)1.求第一类曲线积分lxdl，其中l是沿抛物线2yx从(0,0)到(1,1)的曲线.解：曲线l的参数方程：2,0,1xttyt1220112(551)12lxdlttdt点评：第一类曲线积分计算的关键是将积分曲线参数化，然后再套公式。2.计算第一类曲面积分22()SxydS，其中S为锥面22zxy及平面1z所围成的区域的边界曲面。解：习题册p50页2(2),3.计算第二类曲线积分()()lxydxyxdy，其中l为先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线。习题册p5１页2(2),得分第6页共6页六．应用题或证明题(本大题每题5分，共10分)1．某马戏团的演出场是由帆布围成的（自顶至地面），外形是开口向下的旋转抛物面，其方程为22110()2zxy（地平面对应0z，单位为m），若帆布的价格是2/m元，计算要搭建这样的演出场，帆布的成本应为多少？解：22222202001121212113xyDDSzzdxyddrrdr成本应为22121132．在椭圆2244xy上求一点P，使其到直线:2360lxy的距离最短。（提示：设d是P到直线l的距离，求d的最小值等价于求2d的最小值）。解：点P(,)xy到直线:2360lxy距离平方2223613xyd作222(,,)236(44)Fxyxyxy由22(,,)423620(,,)62368044xyF**xyxFxyxyyxy解得点83(,)55或83(,)55，由图分析知应为83(,)55得分