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第1页共309页第七章三角函数7．1任意角的概念与弧度制7．1.1角的推广1.了解角的概念的推广过程，理解任意角的概念.2.认识终边相同的角并会简单表示.3.通过学习，提高学生数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养.知识点一角的概念的推广(一)教材梳理填空1．角的概念一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．2．角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按照逆时针方向旋转而成的角负角一条射线绕其端点按照顺时针方向旋转而成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角(二)基本知能小试1．判断正误(1)小于90°的角都是锐角.()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角都是钝角．()(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是()A．最大的角是180°B．最大的角是360°C．角不可以是负的D．角可以是任意大小解析：选D由任意角的概念，知D正确．第2页共309页3．在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.答案：390°－150°60°知识点二象限角(一)教材梳理填空象限角及终边相同的角条件在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上象限角角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角终边相同的角所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α[微提醒]角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，可称为轴线角．(二)基本知能小试1．判断正误(1)终边相同的角一定相等．()(2)－30°是第四象限角．()(3)第二象限角是钝角．()(4)225°是第三象限角．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．与610°角终边相同的角可表示为(其中k∈Z)()A．k·360°＋230°B．k·360°＋250°C．k·360°＋70°D．k·180°＋270°解析：选B∵610°＝360°＋250°，∴610°与250°角的终边相同，故选B.3．与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．解析：与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.答案：240°－120°第3页共309页题型一与任意角有关的概念辨析[学透用活]解读任意角的概念三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字．[典例1](1)下列说法正确的是()A．第一象限的角一定是正角B．三角形的内角不是锐角就是钝角C．锐角小于90°D．第二象限的角一定大于第一象限的角(2)期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了()A．360°B．720°C．－360°D．－720°[解析](1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但45°－200°，所以D错误．故选C.(2)因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.[答案](1)C(2)D[方法技巧]判断角的概念问题的关键与技巧关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念技巧判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可[对点练清]1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝BB．B＝CC．A＝CD．A＝D第4页共309页解析：选D集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A＝D.2．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．解：题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题型二象限角及终边相同的角[学透用活][典例2]在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．(1)－736°；(2)405°.[解](1)∵－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．(2)∵405°＝360°＋45°，45°是第一象限角．∴45°与405°是终边相同的角，且405°为第一象限角．[方法技巧](1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．[对点练清]1．已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．解：因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.2．在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在y＝x(x≥0)上．第5页共309页解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个：0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个：45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．题型三区间角的表示[学透用活][典例3]已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解](1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[方法技巧]表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．[对点练清]1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．2．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？第6页共309页解：由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列各角中，与60°角终边相同的角是()A．－300°B．－60°C．600°D．1380°解析：选A与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.2．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在()A．x轴正半轴上B．y轴正半轴上C．x轴或y轴上D．x轴正半轴或y轴正半轴上解析：选C令k＝1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.3．已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：①P⊆N；②N∩M＝M；③M⊆P；④(M∪N)⊆P.其中正确的是________(填序号)．解析：因为锐角的范围为0°θ90°，小于90°的角为θ90°，包含负角，第一象限角为k·360°θk·360°＋90°，k∈Z，所以PN，①错误；N∩M＝M，②正确；M⊆P，③正确；(M∪N)P，④错误．答案：②③4．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达第7页共309页OC位置，则∠AOC＝________.解析：因为各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.答案：－150°二、创新应用题5．在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．解：因为1030°＝2×360°＋310°，所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)故所求的最小正角为310°.(2)取k＝－1，得所求的最大负角为－50°.三、易错防范题6．如图所示，阴影部分内的角的集合S＝______________.解析：因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．答案：{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}[易错矫正]用不等式表示区间角的范围时，要注意观察角的集合形成是否能够合并，能合并的一定要合并．另外对于区间角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正方向．[课下双层级演练过关]A级——学考水平达标练1．(多选题)以下说法，其中正确的有()A．－75°是第四象限角B．265°是第三象限角C．475°是第二象限角D．－315°是第一象限角解析：选ABCD由终边相同角的概念知：A、B、C、D都正确．2．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°360°，故选B.第8页共309页3．在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相同的角为()A．150°B．210°C．30°D．330°解析：选B与－510°角终边相同的角可表示为β＝－510°＋