公共基础数理化精讲班第一章高等数学十九1534853664479

环球网校学员专用资料第1页/共5页第二节可降阶微分方程1.形如)()(xfyn的微分方程这种方程求解非常简单，只要对方程右端的函数积分n次则可【例题9-10】微分方程sinyxx的通解是：（12,CC为任意常数）(A)3121sin3xxCxC(B)3121sin6xxCxC(C)2121cos2xxCxC(D)2121sin2xxCxC解：对sinyxx两边积分两次，可得3121sin6yxxCxC，故应选(B).2.形如)',(yxfy的二阶微分方程，该方程中不显含变量y求解方法是：先做变量替换()ypx，从而dPydx，将原二阶方程化为变量p和x的一阶微分方程，解这个一阶方程得到通解。再将py代入，又是一个变量y和x一阶微分方程，解这个方程，就可得原方程的通解。【例题9-11】微分方程2yy的通解是：（12,CC为任意常数）(A)lnxC(B)ln()xC(C)21lnCxC(D)21lnCxC解：这是不显含y的可降阶微分方程，令()ypx，则yp代入原方程，得2pdxdp，用分离变量法求解得，11yxC，两边积分，可得21lnyCxC,故应选(D).第三节二阶线性微分方程形如()()()yPxyQxyfx的方程叫做二阶线性方程。当0)(xf时，环球网校学员专用资料第2页/共5页()()0yPxyQxy叫做二阶齐次线性方程；当0)(xf时，叫做二阶非齐次线性方程。1.二阶线性微分方程解的性质（1）若1y、2y为齐次方程的任意两个解，则1122yCyCy（1C、2C为任意常数）也是齐次方程的解。（2)若1y、2y为非齐次方程的任意两个解，则21yy是对应齐次方程的解。（3）若1y、2y为非齐次方程的解，则当121CC时，1122yCyCy也是非齐次方程的解。2.二阶线性微分方程解的结构（1）二阶齐次线性方程通解结构：若1y、2y是齐次方程的两个线性无关特解，则齐次线性方程的通解为1122yCyCy（12,CC为任意常数）（2）二阶非齐次线性方程的通解结构：若*y是非齐次方程的一个特解，y是对应齐次方程的通解，则非齐次线性方程的通解为yyy*3.二阶常系数齐次线性方程解的求法二阶常系数齐次线性方程0'qypyy（pq、为任意常数）的特征方程为02qprr求解特征方程得两个根1r、2r。1）若特征方程有两个不相等实根1r、2r，则微分方程通解为1212rxrxyCeCe2）若特征方程有两个相等实根1r=2r，则微分方程通解为12()rxyCCxe3）特征方程有共轭复根i，则微分方程通解为12[cossin]xyeCxCx【例题9-12】微分方程20yyy的两个线性无关的特解是：环球网校学员专用资料第3页/共5页A.12,xyxyeB.12,xxyeyeC.12,xxyeyxeD.12,xxyeyxe解析：所给微分方程的特征方程为2210rr，特征根为121rr，所以两个线性无关的特解是12,xxyeyxe。答案：D【例题9-13】微分方程20yy的通解是：(A)sin2yAx(B)cos2yAx(C)sin2yxcos2Bx(D)sin2yAxcos2Bx解：这是二阶常系数线性齐次方程，特征方程为220,2rri，故应选(D)。【例题9-14】若2212(),()xxuxeuxxe，则它们满足的微分方程为（A）440uuu（B）40uu（C）40uu（D）440uuu解:由2212(),()xxuxeuxxe是微分方程的解知，2r是特征方程的二重根，特征方程为2440rr,正确答案是D。4.二阶常系数非齐次线性方程解的求法由于非齐次方程'()ypyqyfx的通解等于对应齐次方程0'qypyy的通解加上非齐次的一个特解，故求非齐次通解的关键是能否求出他的一个特解。对于方程右端的不同的函数()fx，求特解的方法是不同的，这里重点介绍当()()xnfxPxe（()nPx是n次多项式）时，非齐次方程特解的求法。环球网校学员专用资料第4页/共5页第一步：求特征方程02qprr的根，得1r、2r第二步：写出特解*y的形式。如果不是特征方程的根，则*()xnyQxe（()nQx是系数待定的n次多项式）；如果是特征方程的单根，则*()xnyxQxe；如果是特征方程的重根，则*2()xnyxQxe。第三步：将*y的形式代入方程'()ypyqyfx，要求两边相等，确定()nQx的系数，从而得到特解。【例题9-15】微分方程32xyyyxe的待定特解的形式是：(A)2()xyAxBxe(B)()xyAxBe(C)2xyAxe(D)xyAxe解：特征方程为2320rr，解得特征根为11r和21r。由于方程右端中1是特征方程的单根，而()Pxx是一次多项式，故所给微分方程的待定特解的形式应为2()()xxxAxBeAxBxe，应选A。课后练习：微分方程12yyx满足初始条件10xy的特解是：(A)1xx(B)1xx(C),CxCx为任意常数(D)2xx解：先求对应齐次方程10yyx的通解，得Cyx。令()uxyx代入12yyx，要求两边相等，可得2()uxxC，非齐次微分方程通解为Cyxx，再将初始条件10xy代入，得1C，环球网校学员专用资料第5页/共5页故应选(A)。