2020新教材人教B版高中数学必修第三册课时跟踪检测十九两角和与差的正切

第1页共5页课时跟踪检测（十九）两角和与差的正切A级——学考水平达标练1．与1－tan21°1＋tan21°相等的是()A．tan66°B．tan24°C．tan42°D．tan21°解析：选B原式＝tan45°－tan21°1＋tan45°tan21°＝tan(45°－21°)＝tan24°.2．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则角C等于()A.π3B.2π3C.π6D．π4解析：选A由已知，得tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，即tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，∴tan(A＋B)＝－3，∴tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝3，∴C＝π3.3．已知tanα＝12，则tanπ4＋α－11＋tanπ4＋α的值是()A．2B.12C．－1D．－3解析：选B法一：因为tanα＝12，所以tanπ4＋α＝tanπ4＋tanα1－tanπ4·tanα＝1＋tanα1－tanα＝3，所以tanπ4＋α－11＋tanπ4＋α＝3－11＋3＝12.故选B.法二：tanπ4＋α－11＋tanπ4＋α＝tanπ4＋α－tanπ41＋tanπ4＋α·tanπ4第2页共5页＝tanπ4＋α－π4＝tanα＝12.故选B.4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α的值为()A．－47B.47C.18D．－18解析：选Atan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tanα＋β＋tanα－β1－tanα＋βtanα－β＝3＋51－3×5＝8－14＝－47.5．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：选A因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，故tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3，故选A.6．已知tan(α＋β)＝7，tanα＝34，且β∈(0，π)，则β的值为________．解析：由tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7，即34＋tanβ1－34tanβ＝7，解得tanβ＝1，又∵β∈(0，π)，∴β＝π4.答案：π47．(2018·通州模拟)已知P(2，m)为角α终边上一点，且tanα＋π4＝13，则sinα＝________.解析：∵P(2，m)为角α终边上一点，∴tanα＝m2，再根据tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝m2＋11－m2＝13，∴m＝－1，故x＝2，y＝－1，r＝|OP|＝4＋m2＝5，则sinα＝yr＝－15＝－55.答案：－55第3页共5页8．若(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的最小正值为___________________________．解析：(tanα－1)(tanβ－1)＝2⇒tanαtanβ－tanα－tanβ＋1＝2⇒tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1⇒tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－π4，k∈Z.当k＝1时，α＋β取得最小正值3π4.答案：3π49．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．解：∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝tan18°－x＋tan12°＋x1－tan18°－xtan12°＋x＝tan30°＝33，∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]．∴原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3×33[1－tan(18°－x)tan(12°＋x)]＝1.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由条件得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55，因此tanα＝7，tanβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tanα＋β＋tanβ1－tanα＋βtanβ＝－3＋121－－3×12＝－1，又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.第4页共5页B级——高考水平高分练1．已知α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)＝()A．2B．－2C．1D．－1解析：选A∵－1＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanα＋tanβ＝－1＋tanαtanβ.∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2.2．在锐角△ABC中，tanA·tanB的值()A．不小于1B．小于1C．等于1D．大于1解析：选D在锐角△ABC中，A＋B＋C＝π，则C＝π－(A＋B)，tanA0，tanB0.由tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanA·tanB0，得tanA·tanB1.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝a2＋2a－BP2，解得BP＝23a.设∠APB＝α，∠DPC＝β，则tanα＝ABBP＝32，tanβ＝CDPC＝34，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－18，又∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.4．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tanα2·tanβ＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解：由①得α2＋β＝π3，∴tanα2＋β＝tanα2＋tanβ1－tanα2tanβ＝3.将②代入上式得tanα2＋tanβ＝3－3.因此，tanα2与tanβ是一元二次方程x2－(3－3)x＋2－3＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－3.第5页共5页若tanα2＝1，由于0＜α2＜π4，∴这样的α不存在．故只能是tanα2＝2－3，tanβ＝1.由于α，β均为锐角，∴α＝π6，β＝π4.故存在锐角α＝π6，β＝π4使①②同时成立．