2020新教材人教B版高中数学必修第三册课时跟踪检测十六向量数量积的坐标运算

第1页共5页课时跟踪检测（十六）向量数量积的坐标运算A级——学考水平达标练1．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于()A．11B．5C．－14D．10解析：选A因为a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.2．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2,23)，则a与b的夹角是()A.π6B．π4C.π3D．π2解析：选C设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝1×－2＋3×232×4＝12，解得θ＝π3.故选C.3．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.5B．10C．25D．10解析：选B由a⊥b得a·b＝0，∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝32＋－12＝10.4．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－1665解析：选C设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以8＋x＝3，6＋y＝18，解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝1665.第2页共5页5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：选A由题设知AB―→＝(8，－4)，AC―→＝(2,4)，BC―→＝(－6,8)，∴AB―→·AC―→＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB―→⊥AC―→.∴∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．6．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则AB―→·AC―→＝________.解析：如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB―→＝(1,0)，AC―→＝(1，－1)，从而AB―→·AC―→＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.答案：17．在平行四边形ABCD中，AC―→＝(1,2)，BD―→＝(－3,2)，则AD―→·AC―→＝________.解析：设AC，BD相交于点O，则AD―→＝AO―→＋OD―→＝12AC―→＋12BD―→＝12，1＋－32，1＝(－1,2)．又AC―→＝(1,2)，∴AD―→·AC―→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.答案：38.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA―→＋3PB―→|的最小值为________．解析：建立平面直角坐标系如图所示．设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，A(2,0)，则PA―→＋3PB―→＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．∴|PA―→＋3PB―→|2＝25＋(3b－4y)2(0≤y≤b)，当y＝34b时，|PA―→＋3PB―→|最小，|PA―→＋3PB―→|min＝5.答案：59．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．(1)求AB―→·AC―→及|AB―→＋AC―→|；(2)设实数t满足(AB―→－tOC―→)⊥OC―→，求t的值．解：(1)∵AB―→＝(－3，－1)，AC―→＝(1，－5)，第3页共5页∴AB―→·AC―→＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.∵AB―→＋AC―→＝(－2，－6)，∴|AB―→＋AC―→|＝4＋36＝210.(2)∵AB―→－tOC―→＝(－3－2t，－1＋t)，OC―→＝(2，－1)，且(AB―→－tOC―→)⊥OC―→，∴(AB―→－tOC―→)·OC―→＝0，∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，∴t＝－1.10．已知三个点A，B，C的坐标分别为(3，－4)，(6，－3)，(5－m，－3－m)，若△ABC为直角三角形，求实数m的值．解：由已知，得AB―→＝(3,1)，AC―→＝(2－m,1－m)，BC―→＝(－1－m，－m)．当∠A为直角时，AB―→⊥AC―→，则AB―→·AC―→＝3(2－m)＋1－m＝0，解得m＝74.当∠B为直角时，AB―→⊥BC―→，则AB―→·BC―→＝3(－1－m)－m＝0，解得m＝－34.当∠C为直角时，AC―→⊥BC―→，则AC―→·BC―→＝(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，即m2－m－1＝0，解得m＝1±52.综上，当△ABC为直角三角形时，m的值为74或－34或1±52.B级——高考水平高分练1．在平行四边形ABCD中，AB―→＝(1,0)，AC―→＝(2,2)，则AD―→·BD―→等于()A．－4B．－2C．2D．4解析：选DAD―→·BD―→＝(AC―→－AB―→)·(AC―→－2AB―→)＝AC2―→＋2AB2―→－3AC―→·AB―→＝8＋2－3×2＝4.故选D.2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE―→·CB―→的值为______；DE―→·DC―→的最大值为______．解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，设E(1，a)(0≤a≤1)．第4页共5页所以DE―→·CB―→＝(1，a)·(1,0)＝1，DE―→·DC―→＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，故DE―→·DC―→的最大值为1.答案：113．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足AP―→·OA―→≤0，BP―→·OB―→≥0，则OP―→·AB―→的最小值为________．解析：由已知得AP―→·OA―→＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且BP―→·OB―→＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以OP―→·AB―→＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.答案：34．已知点A(2,3)，若把向量OA―→绕原点O按逆时针旋转90°得到向量OB―→，则点B的坐标为________．解析：设B(x，y)(x0)，则OA―→⊥OB―→，且|OB―→|＝|OA―→|.∴2x＋3y＝0，x2＋y2＝22＋32，解得x＝－3，y＝2.∴B(－3,2)．答案：(－3,2)5．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)求AB―→和AC―→夹角的余弦值；(3)是否存在实数t满足(AB―→－tOC―→)·OC―→＝OA―→·OC―→，若存在，求t的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意知AB―→＝(3,5)，AC―→＝(－1,1)，则AB―→＋AC―→＝(2,6)，AB―→－AC―→＝(4,4)，所以|AB―→＋AC―→|＝210，|AB―→－AC―→|＝42，故所求的两条对角线的长分别为210，42.(2)cos∠BAC＝AB―→·AC―→|AB―→||AC―→|＝234×2＝1717，所以AB―→和AC―→夹角的余弦值为1717.(3)由题设知：OA―→＝(－1，－2)，OC―→＝(－2，－1)，第5页共5页AB―→－tOC―→＝(3＋2t,5＋t)．假设存在实数t满足(AB―→－tOC―→)·OC―→＝OA―→·OC―→，则(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝4，从而5t＝－15，所以t＝－3.6．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB―→＝(1,1)，AD―→＝(－3,3)．又AB―→·AD―→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB―→⊥AD―→，即AB⊥AD.(2)∵AB―→⊥AD―→，四边形ABCD为矩形，∴AB―→＝DC―→.设点C坐标为(x，y)，则AB―→＝(1,1)，DC―→＝(x＋1，y－4)，∴x＋1＝1，y－4＝1，解得x＝0，y＝5，∴点C的坐标为(0,5)．由于AC―→＝(－2,4)，BD―→＝(－4,2)，∴AC―→·BD―→＝8＋8＝16，|AC―→|＝25，|BD―→|＝25.设AC―→与BD―→的夹角为θ，则cosθ＝AB―→·BD―→|AC―→||BD―→|＝1620＝45，∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.