2022年高考全国甲卷数学理试卷答案

2022年高考全国乙卷数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若13iz，则1zzz（）A.13iB.13iC.13i33D.13i332.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差的D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.设全集{2,1,0,1,2,3}U，集合2{1,2},430ABxxx∣，则()UABð（）A.{1,3}B.{0,3}C.{2,1}D.{2,0}4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A.8B.12C.16D.205.函数33cosxxyx在区间ππ,22的图象大致为（）A.B.C.D.6.当1x时，函数()lnbfxaxx取得最大值2，则(2)f（）A1B.12C.12D.17.在长方体1111ABCDABCD中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30°，则（）A.2ABADB.AB与平面11ABCD所成的角为30°C.1ACCBD.1BD与平面11BBCC所成的角为458.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，CDAB．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：2CDsABOA．当2,60OAAOB时，s（）A.11332B.11432C.9332D.94329.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A.5B.22C.10D.5104.10.椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线,APAQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A.32B.22C.12D.1311.设函数π()sin3fxx在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A.513,36B.519,36C.138,63D.1319,6612.已知3111,cos,4sin3244abc，则（）A.cbaB.bacC.abcD.acb二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3br，则2abb_________．14.若双曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430xyy相切，则m_________．15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．16.已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD．当ACAB取得最小值时，BD________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan．（1）证明：na是等差数列；（2）若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．18.在四棱锥PABCD中，PD底面,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP∥．（1）证明：BDPA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．20.设抛物线2:2(0)Cypxp焦点为F，点,0Dp，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3MF．（1）求C的方程；（2）设直线,MDND与C另一个交点分别为A，B，记直线,MNAB的倾斜角分别为,．当取得最大值时，求直线AB的方程．21已知函数lnxfxxaxxe．（1）若0fx，求a的取值范围；（2）证明：若fx有两个零点12,xx，则环121xx．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]的的.22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为26txyt（t为参数），曲线2C的参数方程为26sxys（s为参数）．（1）写出1C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23.已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：（1）23abc；（2）若2bc，则113ac.参考答案1-6CBDBAB7-12DBCACA13.1114.3315.63516.31或1+317.（1）解：因为221nnSnan，即222nnSnnan①，当2n时，21121211nnSnnan②，①②得，22112212211nnnnSnSnnannan，即12212211nnnannana，即1212121nnnanan，所以11nnaa，2n且N*n，所以na是以1为公差的等差数列．（2）78．18.（1）证明：在四边形ABCD中，作DEAB于E，CFAB于F，因为//,1,2CDABADCDCBAB，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以12AEBF，故32DE，223BDDEBE，所以222ADBDAB，所以ADBD，因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD，又PDADD，所以BD平面PAD，又因PA平面PAD，所以BDPA；（2）55.19.（1）0.6；（2）X分布列为X0102030P0.160.440.340.0613EX.20.（1）24yx；（2）:24ABxy.21.（1）(,1]e（2）由题知,fx一个零点小于1,一个零点大于1设121xx，要证121xx,即证121xx，因为121,(0,1)xx,即证121fxfx，因为12fxfx,即证221fxfx，即证1e1lneln0,(1,)xxxxxxxxx，即证1e11e2ln02xxxxxxx，下面证明1x时，1e11e0,ln02xxxxxxx的设11(),eexxgxxxx，则11122111111()eee1ee1xxxxxgxxxxxxxx111e1e1eexxxxxxxxx，设22e1111,ee0xxxxxxxxxxx所以1ex,而1eex，所以1ee0xxx,所以()0gx，所以()gx在(1,)单调递增即()(1)0gxg,所以1ee0xxxx，令11()ln,12hxxxxx，2222211121(1)()10222xxxhxxxxx，所以()hx在(1,)单调递减，即()(1)0hxh,所以11ln02xxx；综上,1e11e2ln02xxxxxxx,所以121xx.22.（1）2620yxy；（2）31,CC的交点坐标为1,12，1,2，32,CC的交点坐标为1,12，1,2．23.（1）证明：由柯西不等式有222222221112abcabc，所以23abc，当且仅当21abc时，取等号，所以23abc；（2）证明：因为2bc，0a，0b，0c，由（1）得243abcac，即043ac，所以1143ac，由权方和不等式知22212111293444acacacac，当且仅当124ac，即1a，12c时取等号，所以113ac.