2022年全国卷数学试卷答案

2022年全国Ⅰ卷数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{4},{31}MxxNxx∣∣，则MN（）A.02xxB.123xxC.316xxD.1163xx2.若i(1)1z，则zz（）A.2B.1C.1D.23.在ABC中，点D在边AB上，2BDDA．记CAmCDn，，则CB（）A.32mnB.23mnC.32mnD.23mn4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m．时，相应水面的面积为21400km．；水位为海拔1575m．时，相应水面的面积为21800km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m．上升到1575m．时，增加的水量约为（72.65）（）A.931.010mB.931.210mC.931.410mD.931.610m5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16B.13C.12D.236.记函数()sin(0)4fxxb最小正周期为T．若23T，且()yfx的图象关于点3,22中心对称，则2f（）A.1B.32C.52D.37.设0.110.1e,ln0.99abc，，则（）A.abcB.cbaC.cabD.acb8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）的A8118,4B.2781,44C.2764,43D.[18,27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知正方体1111ABCDABCD，则（）A.直线1BC与1DA所成的角为90B.直线1BC与1CA所成的角为90C.直线1BC与平面11BBDD所成角为45D.直线1BC与平面ABCD所成的角为4510.已知函数3()1fxxx，则（）A()fx有两个极值点B.()fx有三个零点C.点(0,1)是曲线()yfx的对称中心D.直线2yx是曲线()yfx的切线11.已知O为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)Cxpyp上，过点(0,1)B的直线交C于P，Q两点，则（）A.C的准线为1yB.直线AB与C相切C.2|OPOQOAD.2||||||BPBQBA12.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx，若322fx，(2)gx均为偶函数，则（）A.(0)0fB.102gC.(1)(4)ffD.(1)(2)gg三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.81()yxyx的展开式中26xy的系数为________________（用数字作答）．14.写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程________________．.的.15.若曲线()exyxa有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，离心率为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，||6DE，则ADE的周长是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列．（1）求na的通项公式；（2）证明：121112naaa．18.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．（1）若23C，求B；（2）求222abc的最小值．19.如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，1ABC的面积为22．（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面角ABDC的正弦值．20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)PBAPBA与(|)(|)PBAPBA的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)PABPAB的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附22()()()()()nadbcKabcdacbd，2PKk00500.0100.001k3.8416.63510.82821.已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，直线l交C于P，Q两点，直线,APAQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan22PAQ，求PAQ△的面积．22.已知函数()xfxeax和()lngxaxx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线()yfx和()ygx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．.参考答案1-5DDBCD6-8ACC9.ABD10.AC11.BCD12.BC13.-2814.3544yx或7252424yx或1x15.,40,16.1317.（1）12nnna（2）12112,11nannnn∴12111naaa1111112121222311nnn18.（1）π6；（2）425．19.（1）2（2）3220.（1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100nadbcKabcdacbd，又2(6.635)=0.01PK，246.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()PBAPBAPABPAPABPARPBAPBAPAPABPAPAB，所以()()()()()()()()PABPBPABPBRPBPABPBPAB，所以(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB，（3）R=621.（1）1；（2）1629．22.（1）1a（2）由（1）可得e()xxfx和()lngxxx的最小值为11ln11ln11.当1b时，考虑exxb的解的个数、lnxxb的解的个数.设exSxxb，e1xSx，当0x时，0Sx，当0x时，0Sx，故Sx在,0上为减函数，在0,上为增函数，所以min010SxSb，而e0bSb，e2bSbb，设e2bubb，其中1b，则e20bub，故ub在1,上为增函数，故1e20ubu，故0Sb，故exSxxb有两个不同的零点，即exxb的解的个数为2.设lnTxxxb，1xTxx，当01x时，()0Tx¢，当1x时，0Tx，故Tx在()0,1上为减函数，在1,上为增函数，所以min110TxTb，而ee0bbT，ee20bbTb，lnTxxxb有两个不同的零点即lnxxb的解的个数为2.当1b，由（1）讨论可得lnxxb、exxb仅有一个零点，当1b时，由（1）讨论可得lnxxb、exxb均无零点，故若存在直线yb与曲线yfx、()ygx=有三个不同的交点，则1b.设()eln2xhxxx，其中0x，故1()e2xhxx，设e1xsxx，0x，则e10xsx，故sx在0,上为增函数，故00sxs即e1xx，所以1()1210hxxx，所以()hx在0,上为增函数，而(1)e20h，31e333122()e3e30eeeh，故hx在0,上有且只有一个零点0x，0311ex且：当00xx时，0hx即elnxxxx即fxgx，当0xx时，0hx即elnxxxx即fxgx，因此若存在直线yb与曲线yfx、()ygx=有三个不同交点，故001bfxgx，此时exxb有两个不同的零点1010,(0)xxxx，此时lnxxb有两个不同的零点0404,(01)xxxx，故11exxb，00exxb，44ln0xxb，00ln0xxb，所以44lnxbx即44exbx即44e0xbxbb，故4xb为方程exxb的解，同理0xb也为方程exxb的解，又11exxb可化为11exxb即11ln0xxb即11ln0xbxbb，故1xb为方程lnxxb的解，同理0xb也为方程lnxxb的解，所以1004,,xxxbxb，而1b，故0410xxbxxb即1402xxx.的