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2021-2022学年沈阳市皇姑区光明中学九年级上学期数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1．下列方程为一元二次方程的是（）A．x2+＝1B．x2+xy+2＝0C．x+y﹣4＝0D．x2﹣2x﹣3＝02．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）A．4cm，5cm，6cm，7cmB．3cm，4cm，5cm，8cmC．5cm，15cm，3cm，9cmD．8cm，4cm，1cm，3cm3．过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（）A．x（x﹣1）＝380B．x（x﹣1）＝380C．2x（x﹣1）＝380D．x（x+1）＝3804．如图，一张矩形纸片沿它的长边AD对折（折痕为EF），得到两个全等的小矩形，若小矩形与原来的矩形相似，那么原来矩形的长边与短边之比为（）A．1：1B．：1C．：1D．2：15．下列对正方形的描述错误的是（）A．正方形的四个角都是直角B．正方形的对角线互相垂直C．邻边相等的矩形是正方形D．对角线相等的平行四边形是正方形6．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机模出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有78次摸到红球，则口袋中白球的个数大约有（）A．7个B．8个C．2个D．3个7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．8．若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角平分线之比为（）A．9：1B．6：1C．3：1D．：19．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．10．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2m，b＝4m，d＝5m，则c＝m．12．若，则的值等于．13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．14．如图是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2m，BP＝3m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是．15．如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P、Q分别在直线CB与射线DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，则线段BP的长为．三、解答题（本大题共9小题，共82.0分）17．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．18．在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．19．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．（1）求证：OE＝BC；（2）若四边形OCED的面积是8cm2，则菱形ABCD的面积是cm2（直接填空即可，不必给出求解过程）20．如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？21．阅读材料：各类方程的解法求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解方程：．解：移项，得．两边平方，得2x﹣4＝1+2+x+5．即x﹣10＝2．两边再平方，得x2﹣20x+100＝4（x+5）．即x2﹣24x+80＝0．解得x1＝4，x2＝20．检验：当x＝4时，原方程左边＝2﹣3＝﹣1，右边＝1．∴x＝4不是原方程的根当x＝20时，原方程左边＝6﹣5＝1．右边＝1．∴x＝20原方程的根∴原方程的解是x＝20．（1）请仿照上述解法，求出方程x﹣﹣1的解．（2）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝16m，宽AB＝6m小华把一根长为20m的绳子的一端固定在点B，从草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固在点P，然后沿草坪边沿D，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C，则AP＝m．22．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．（1）两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为cm？若存在，直接写出运动所需的时间为；若不存在，请说明理由．（3）直接写出PQ长度的最小值．24．如图1．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，则t的值为；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t＝时，四边形EPQG为矩形；（4）当t＝时，△PQF为等腰三角形．25．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．