(6)机械能守恒

复习上一次课的内容1、元功：dA=Fdr⋅ABA=A到B做功:BiiAFdr⋅∫2、动能定理：kdEdA=221122ABkBkABAAEEmvmv=−=−33、一对内力作功、一对内力作功::221AdAfdr==⋅∫∫相对位移[])()(12zEzEApp−−=重力作功:[])()(apbprErEA−−=万有引力作功万有引力作功[])()(apbpxExEA−−=弹性力做功弹性力做功::以上几种力作功的共同特点是：作功与路径无关结论：保守力做功等于势能增量的负值以物体在地面为势能零点pEmgh=取自然长度x=0处为势能的零点212pEkx=2)弹性势能1)重力势能3)引力势能取两质点无穷远分离为引力势能的零点12pGmmEr=−势能零点的选择例、倔强系数为K的弹簧，上端固定，下端悬挂重物。当弹簧伸长x0时，重物在O处达到平衡。现取重物在O处时各种势能均为零,则当m偏离O点l时，系统的重力势能为多少？系统的弹性势能为多少？系统的总势能为多少？解：重力势能为：弹性势能为：oo′0x=重力pE∫⋅OPxdgm∫−=mgdxmgl=−∫⋅=OPpxdFE弹性∫=FdxPO00()lklxxdx=+−∫xP0lx2012klkxl=+mgkx=0弹力重力总pppEEE+=∴212kl=l是到力的平衡点的距离2012klkxlmgl=+−总势能为：lO弹性势能为：oo′0x∫⋅=OPpxdFE弹性∫=FdxPO00()lklxxdx=+−∫xPx2012klkxl=+mgkx=0弹力重力总pppEEE+=∴212kl=l是到力的平衡点的距离2012klkxlmgl=+−总势能为：lOrdFdA∵⋅=pdE−=而:dzzEdyyEdxxEdEpppp∂∂+∂∂+∂∂=因此有：dzFdyFdxFzyx++)(dzzEdyyEdxxEppp∂∂+∂∂+∂∂−=xEFpx∂∂−=⇒yEFpy∂∂−=zEFpz∂∂−=kFjFiFFzyx∵++=)kzEjyEixEFppp∂∂+∂∂+∂∂−=（保守pE−∇=pEF−∇=保守——保守力沿某方向的分量等于势能函数在该方向上的方向导数。保守力等于势能函数梯度的负值一、一、由势能函数求保守力由势能函数求保守力§§4.54.5由势能求保守力由势能求保守力势能曲线势能曲线二、由势能曲线求保守力二、由势能曲线求保守力一维势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应位置处质点所受的保守力。rEpr0Or×××斜率0斜率=0斜率0以双原子分子势能曲线为例：r=r0时,斜率=0，有fr=0。rr0时,斜率0，有fr0,力指向r减小的方向，是引力。rr0时,斜率0，有fr0,力指向r增大的方向，是斥力。如：万有引力势能函数为：rGMmEp−=则万有引力为：rrEFprˆ∂∂−=rrGMmdrdˆ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=rrGMmˆ2−=一质点在其保守力场中的势能为3pEar=，其中r为质点与坐标原点之间的距离，a为大于零的常量，则作用该质点上的保守力=F。rraˆ34pEF−∇=9rrEpˆ∂∂−=rrarraˆ3ˆ)3(44=−−=()mFctc=有一质量为的静止质点，受一方向不变的外力作用，力与时间的关系：，为常数。证明：质点的加速度为功与时间的关系为证明：此力对质点作的428tmcW=dtmctv∫=由动能定理得：2022121mvmvW−=428tmc=ctmaF==mctdtdva==积分：022vmct+=mct22=例例4.24.2多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要考虑质点间的相互作用力（内力）。1F2F12f21fm1m2二质点组成的系统多个质点组成的系统两个质点在外力及内力作用下如图所示：推广一、质点系动能定理一、质点系动能定理§§质点系的动能定理质点系的动能定理对m1运用质点动能定理：对m2运用质点动能定理：11112211121111111dd22bbbaaaFrfrmvmv⋅+⋅=−∫∫222222212222222dd1122bbaabaFrfrmvmv⋅+⋅=−∫∫1F2F12f21fm1m2作为系统考虑时，得到：推广:上述结论适用多个质点。质点系动能定理质点系动能定理：：所有外力与所有内力对质点所有外力与所有内力对质点系做功之和等于质点系总动能的增量。系做功之和等于质点系总动能的增量。kkakbEEEAAΔ=−=+内外12112111221212222211221122dddd1111()()222211bbbb12aaaabbaaFrFrfrfrmvmvmvmv⋅+⋅+⋅+⋅=+−+∫∫∫∫由动能定理:dAdEk=内外dAdA+=耗内保内外dAdAdA++=而pdEdA−=保内即势能增量的负值等于保守内力作功§§4.64.6质点系的功能原理质点系的功能原理..机械能守恒定律机械能守恒定律pkdEdAdAdE−+=⇒耗内外耗内外dAdAdEdEpk+=+⇒令pkEEE+=为系统的机械能机械能耗内外dAdAdE+=于是得到————质点系功能原理质点系功能原理若：0=+耗内外dAdA有:0=dE如果一个系统只有保守内力作功，其它内力和一切外力都不作功，则系统的总机械能保持不变。————机械能守恒定律机械能守恒定律————只适用于惯性系只适用于惯性系对封闭系统：0=外力A0≠内耗A⇒机械能不守恒但它遵循普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律：在一个在一个封闭系统封闭系统内，各种形式的能量（机械能、电能、内，各种形式的能量（机械能、电能、化学能等）可以相互转换，但系统的化学能等）可以相互转换，但系统的总能量总能量保持不变保持不变1、守恒定律是关于变化过程的规律说明2、守恒定律与对称性相联------动量守恒定律------角动量守恒定律空间平移对称性空间转动对称性时间平移对称性------能量守恒定律一力学系统对惯性系S动量和机械能动量和机械能都守恒，则此系统：（A）对其他惯性系动量、机械能都守恒；（B）对其他惯性系动量守恒，机械能是否守恒不能确定；（C）对其他惯性系机械能守恒，动量是否守恒不能确定；（D）对其他惯性系动量、机械能是否守恒都不能确定。例例1.1.答案答案AA一力学系统对惯性系S机械能机械能守恒，则此系统：（A）对其他惯性系机械能一定守恒；（B）对其他惯性系机械能一定不守恒；（C）对其他惯性系机械能守恒，动量是否守恒不能确定；（D）对其他惯性系动量、机械能是否守恒都不能确定。例例2.2.答案答案DD设地球半径为R。一质量为m的物体，从静止开始在距地面R处自由下落。求：它到达地球表面时的速度。解：GMm=EpaR2GMm=EpbR由机械能守恒定律：GM=vRGMmGMmR2221=+R0+mvMRRmab地球例例5.5.解：解法一，根据功的定义，以m为研究对象，受力分析.例在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m，设物体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。(圆周相对与地面静止)θNGfrORABvdcosdvfmgmtθ=−dcosdvmgfmamtτθ−==则dAfs=−∫阻9000cosddvmgRmvvθθ°=−+∫∫221mvmgR+−=解法二，根据动能定理，221mvAmgR=+阻ORABvkeEAΔ=对物体受力分析，只有重力和摩擦力作功.解法三，根据功能原理，以物体和地球为研究对象pkEEAΔ+Δ=阻mgRmv−=2212142.4J2AmvmgR=−=−代入已知数字得负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功42.4JORABvEEEAApkideΔ=Δ+Δ=+∴作业课本P1444.64.8，4.94.114.19