2015年辽宁省鞍山市中考数学试卷

第1页（共28页）2015年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）﹣5的倒数是（）A．5B．C．﹣D．252．（3分）下列图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）若y＝有意义，则x的取值范围是（）A．x≠4B．x≤4C．x≥4D．x＜44．（3分）下列命题是真命题的是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．三角形任意两边之差小于第三边5．（3分）某校开展“中国梦•快乐阅读”的活动，为了解某班同学寒假的阅读情况，随机调查了10名同学，结果如下表：阅读量/本4569人数3421关于这10名同学的阅读量，下列说法正确的是（）A．众数是9本B．中位数是5.5本C．平均数是5.3本D．方差是36．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，DE平分∠ADC交BC于点E，则△CDE的周长为（）A．4+8B．4+4C．2+8D．2+4第2页（共28页）7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．2a+b＜0B．4a+2b+c＞0C．m（am+b）＞a+b（m为大于1的实数）D．3a+c＜08．（3分）如图，点O在线段AB上，AO＝1，OB＝2，OC为射线，且∠BOC＝120°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC作匀速直线运动．设运动时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（）A．t＝1B．t＝1或C．t＝D．t＝1或二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）据有关部门统计，2014年全国骚扰电话高达270亿通，数据270亿可用科学记数法表示为．10．（3分）分解因式：m3﹣2m2+m＝．11．（3分）一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是．12．（3分）近年来食品安全问题备受人们的关注，某海关想检验一批进口食品的防腐剂含量是否符合国家标准，这种调查适用（填“全面调查”或“抽样调查”）．13．（3分）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为．（结果保留π）第3页（共28页）14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，O是AD的中点，连接OB，OC，点E在线段BC上（点E不与B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为．15．（3分）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边作正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）第一象限的图象上，连接AD．若OA2﹣AD2＝20，则k的值为．16．（3分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，AG是∠DAE的平分线，分别交DE，BC于点F，G，连接CE，∠GAC＝25°，下面结论正确的是（填序号）．①∠BAD＝∠CAE；②tan∠ABE＝；第4页（共28页）③AG∥CE；④2AF+CE＝BE；⑤AD＝CG．三、解答题（共10小题，满分102分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知α是锐角，且cos（α﹣15°）＝，计算﹣6cosα+（3﹣π）0﹣tanα﹣（）﹣1的值．18．（8分）现在人们学习、工作、生活压力较大，身体常常处于亚健康状态，为了缓解压力，人们往往会通过不同的方式减压，某高校学生社团对本校部分老师的减压方式进行了调查（教师可根据自己的情况必选且只选其中一项），并将调查结果分析整理后制成了统计图：（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名教师？（2）请补全条形统计图．（3）请计算，扇形统计图中，“K歌”所对应的圆心角是多少度？（4）请根据调查结果估计该校550名教师采用“美食”减压的人数是多少？19．（10分）在一个不透明的盒子里，装有五个乒乓球，分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，﹣，﹣，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同，先从盒子中随机摸出一个乒乓球，记下数字不放回，再从剩下的乒乓球中随机摸出一个，记下数字．第5页（共28页）（1）用画树状图或列表的方法，求出两次摸出的数字之积不大于1的概率；（2）若直线y＝﹣x﹣3与两个坐标轴围成△AOB，请直接写出以第一次摸出的数字为横坐标，第二次摸出的数字为纵坐标的点在△AOB内部（不包括边界）的概率．20．（10分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，点E，F，P分别是OB，OC，AD的中点，分别连接EP，EF，PF，EP与AC相交于点G，且AC＝2AB．（1）求证：△APG≌△FEG；（2）求证：△PEF为等腰三角形．21．（10分）近两个月，由于受到“中东呼吸综合症”的影响，赴韩旅游的人数明显减少．某旅行社为了吸引游客，决定将赴韩旅游的人均费用下调300元．下调后，总费用同样是25200元，赴韩旅游的人数却可以比过去增加2人．求该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是多少元？22．（10分）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，测得A地在观测站B的南偏东45°方向上，在观测站C的南偏西60°方向上，观测站B在观测站C的正西方向，此时A地与观测站B的距离为20海里．（1）求A地与观测站C的距离是多少海里？（2）现收到故障船D的求救信号，要求巡逻船从A地马上前去救援（C，A，D共线）．已知D船位于观测站B的南偏西15°方向上，巡逻船的速度是12海里/小时，求巡逻船从A地到达故障船D处需要多少时间？（结果保留小数点后一位，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）23．（10分）⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，BE是⊙O的切线交DC的延长线于点E．（1）求证：BE⊥CE；第6页（共28页）（2）若BC＝，⊙O的半径为，求线段CD的长度．24．（10分）某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？（2）若该文具店要购进A，B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A种钢笔的数量少于B种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？（3）文具店以每支30元的价格销售B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B种钢笔，涨价卖出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B种钢笔每支涨价a元（a为正整数），销售这批钢笔每月获利W元，试求W与a之间的函数关系式，并且求出B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？25．（12分）如图1所示，在菱形ABCD和菱形AEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段CF的中点，连接PD，PG．（1）若∠BAD＝∠AEF＝120°，请直接写出∠DPG的度数及的值．（2）若∠BAD＝∠AEF＝120°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，使菱形ABCD的对角线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明．（3）若∠BAD＝∠AEF＝180°﹣2α（0°＜α＜90°），将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置，求出的值．第7页（共28页）26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动．（1）求抛物线解析式和顶点D的坐标；（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x＝3向上运动，且速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．第8页（共28页）2015年辽宁省鞍山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【分析】利用倒数的意义直接选择答案即可．【解答】解：﹣5的倒数是﹣．故选：C．【点评】此题考查倒数的意义，掌握倒数的意义是解决问题的关键．2．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，故选项错误；B、不是轴对称图形，故选项正确；C、是轴对称图形，故选项错误；D、是轴对称图形，故选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．【分析】根据负数没有平方根及0不能做分母，求出x的范围即可．【解答】解：要使y＝有意义，则有4﹣x＞0，即x＜4，故选：D．【点评】此题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．【分析】根据垂径定理及正方形的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、真命题为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；B、真命题为：对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形，故本选项错误；C、真命题为：平分弦的直径垂直于弦（非直径），并且平分弦所对的弧，故本选项错误；第9页（共28页）D、符合三角形的三边关系，是真命题，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是命题与定理，熟知垂径定理及正方形的性质是解答此题的关键．5．【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的计算公式分别进行解答即可得出答案．【解答】解：A、阅读5本的学生有4人，人数最多，则众数是5本，故本选项错误；B、共有10名同学，中位数是＝5，故本选项错误；C、平均数是（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10═5.3（本），故本选项正确；D、方差是：[3×（4﹣5.3）2+4×（5﹣5.3）2+2×（6﹣5.3）2+（9﹣5.3）2]＝2.01，故本选项错误；故选：C．【点评】此题考查了众数、中位数、平均数以及方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．6．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD＝AB＝4，∠A＝∠C＝120°，AD∥BC，得∠ADE＝∠DEC，∠DCF＝60°又由DE平分∠ADC，可得∠CDE＝∠DEC，根据等角对等边，可得EC＝CD＝4，根据30°角的直角三角形的性质求得CF＝2，然后根据勾股定理求得DF，进而得出ED＝4，所以求得△CDE的周长为4+8．【解答】解：作DF⊥BC，交BC的延长线于F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C＝120°，AB＝CD＝4，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DEC，∴EC＝CD，∴∠DEC＝∠EDC＝30°，第10页（共28页）∴∠DCF＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝2，∴DF＝＝2，∴DE＝2DF＝4，∴△CDE的周长为4+8．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定定理、勾股定理以及30°角的直角三角形的性质．注意当有平行线和角平分线出现