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1二次函数一.选择题1.（2018·湖北随州·3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；2∵x=1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b=﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．2.（2018·湖北襄阳·3分）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m＜5D．m＞2【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得：m≤5，故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．3.（2018•山东东营市•3分）如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由3此即可求出答案．【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：=，即EF=2（6﹣x）所以y=×2（6﹣x）x=﹣x2+6x．（0＜x＜6）该函数图象是抛物线的一部分，故选：D．【点评】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．4.（2018•山东烟台市•3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案．【解答】解：①图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴二次函数的图象的对称轴为x==1∴=1∴2a+b=0，故①错误；②令x=﹣1，∴y=a﹣b+c=0，∴a+c=b，∴（a+c）2=b2，故②错误；4③由图可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确；④当a=1时，∴y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣1﹣1）2﹣4+2=（x﹣2）2﹣2，故④正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．5.（2018•上海•4分）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的【分析】A.由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B.根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C.代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；D.由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．综上即可得出结论．【解答】解：A.∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B.∵﹣=，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C.当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D.∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．6.（2018•达州•3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．5下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；③由于＜2，且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），∵，∴y1＜y2，故③正确，④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，6∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，∴﹣＜a＜﹣，故④正确故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．7.（2018•遂宁•4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴在直线x=1的右侧得到b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c＜0，也可判断abc＞0，利用抛物线与x轴有2个交点可判断b2﹣4ac＞0，利用x=1可判断a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，∴x=﹣＞1，∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0．故选：C．7【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8.（2018•资阳•3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有A.B.c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判断．【解答】解：①=﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；②ac+b+1=0，设C（0，c），则OC=|c|，∵OA=OC=|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故正确；③abc＞0，从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，故正确；④a﹣b+c＞0，当x=﹣1时y=a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0，故正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质．9.（2018•杭州•3分）四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为:（1,3）且图像经过（2，4）设抛物线的解析式为：8y=a（x-1）2+3∴a+3=4解之：a=1∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2+3=x2-2x+4当x=-1时，y=7，∴乙说法错误故答案为：B【分析】根据甲和丙的说法，可知抛物线的顶点坐标，再根据丁的说法，可知抛物线经过点（2,4），因此设函数解析式为顶点式，就可求出函数解析式，再对乙的说法作出判断，即可得出答案。10．（2018•临安•3分）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．11.（2018•湖州•3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A.a≤﹣1或≤a＜B.≤a＜C.a≤或a＞D.a≤﹣1或a≥【答案】A【解析】分析：根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；详解：∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2．观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，∴a≥，9∵直线MN的解析式为y=-x+，由，消去y得到，3ax2-2x+1=0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a≤-1或≤a＜，故选：A．点睛：本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．12.（2018•贵州安顺•3分）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论有（）A.个B.个C.个D.个【答案】B【解析】试题解析：①由开口向下，可得又由抛物线与y轴交于正半轴，可得再根据对称轴在y轴左侧，得到与同号，则可得故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得故②正确；③当时，即……（1）当时，,即……（2）（1）+（2）×2得，即又因为所以故③错误；10④因