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1正多边形与圆填空题1.（2018·云南省昆明·3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为﹣（结果保留根号和π）．【分析】正六边形的中心为点O，连接OD.OE，作OH⊥DE于H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH，得到正六边形ABCDEF的面积，求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，结合图形计算即可．【解答】解：正六边形的中心为点O，连接OD.OE，作OH⊥DE于H，∠DOE==60°，∴OD=OE=DE=1，∴OH=，∴正六边形ABCDEF的面积=×1××6=，∠A==120°，∴扇形ABF的面积==，∴图中阴影部分的面积=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．2.（2018•呼和浩特•3分）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．2解：设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O作OQ⊥BC于Q，连接OB.OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴O为正方形ABCD的中心，∴∠BOC=90°，∵OQ⊥BC，OB=CO，∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，∴OQ=OC×cos45°=R；设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，∴∠OGF=∠EGF=30°，∴OH=OG×sin30°=R，∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，故答案为：：1．3.（2018•莱芜•4分）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，、的圆心分别在边AB.CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E.F间的距离为．【分析】作DE的中垂线交CD于G，则G为的圆心，H为的圆心，连接EF，GH，交于3点O，连接GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得GE=FG=，根据四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，即可得到Rt△OEG中，OE=a，即可得到EF=a．【解答】解：如图，作DE的中垂线交CD于G，则G为的圆心，同理可得，H为的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，设GE=GD=x，则CG=2a﹣x，CE=a，Rt△CEG中，（2a﹣x）2+a2=x2，解得x=，∴GE=FG=，同理可得，EH=FH=，∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，∴GO=BC=a，∴Rt△OEG中，OE==a，∴EF=a，故答案为：a．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．