1动态问题一.选择题1.(2018·辽宁省葫芦岛市)如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=10,AB⊥AC,点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动,同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动,当点P到达点C时,点Q随之停止运动,设点P运动的路程为x,y=PQ2,下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是()A.B.C.D.【解答】解:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,∴AC==8.当0≤x≤6时,AP=6﹣x,AQ=x,∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36;当6≤x≤8时,AP=x﹣6,AQ=x,∴y=PQ2=(AQ﹣AP)2=36;当8≤x≤14时,CP=14﹣x,CQ=x﹣8,∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260.故选B.2.(2018•广安•3分)已知点P为某个封闭图形边界上的一定点,动点M从点P出发,沿其边界顺时针匀速运动一周,设点M的运动时间为x,线段PM的长度为y,表示y与x的函数图象大致如图所示,则该封闭图形可能是()A.B.C.D.2【分析】先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分,则可对有4边的封闭图形进行淘汰,利用圆的定义,P点在圆上运动时,PM总上等于半径,则可对D进行判断,从而得到正确选项.【解答】解:y与x的函数图象分三个部分,而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段,其图象要分四个部分,所以B.C选项不正确;D选项中的封闭图形为圆,y为定中,所以D选项不正确;A选项为三角形,M点在三边上运动对应三段图象,且M点在P点的对边上运动时,PM的长有最小值.故选:A.【点评】本题考查了动点问题的函数图象:函数图象是典型的数形结合,图象应用信息广泛,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图.3.(2018•莱芜•3分)如图,边长为2的正△ABC的边BC在直线l上,两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l,a和b同时向右移动(a的起始位置在B点),速度均为每秒1个单位,运动时间为t(秒),直到b到达C点停止,在a和b向右移动的过程中,记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s,则s关于t的函数图象大致为()A.B.C.D.【分析】依据a和b同时向右移动,分三种情况讨论,求得函数解析式,进而得到当0≤t<1时,函数图象为开口向上的抛物线的一部分,当1≤t<2时,函数图象为开口向下的抛物线的一部分,当2≤t≤3时,函数图象为开口向上的抛物线的一部分.【解答】解:如图①,当0≤t<1时,BE=t,DE=t,3∴s=S△BDE=×t×t=;如图②,当1≤t<2时,CE=2﹣t,BG=t﹣1,∴DE=(2﹣t),FG=(t﹣1),∴s=S五边形AFGED=S△ABC﹣S△BGF﹣S△CDE=×2×﹣×(t﹣1)×(t﹣1)﹣×(2﹣t)×(2﹣t)=﹣+3t﹣;如图③,当2≤t≤3时,CG=3﹣t,GF=(3﹣t),∴s=S△CFG=×(3﹣t)×(3﹣t)=﹣3t+,综上所述,当0≤t<1时,函数图象为开口向上的抛物线的一部分;当1≤t<2时,函数图象为开口向下的抛物线的一部分;当2≤t≤3时,函数图象为开口向上的抛物线的一部分,故选:B.【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象,函数图象是典型的数形结合,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力.二.填空题1.(2018·辽宁省盘锦市)如图①,在矩形ABCD中,动点P从A出发,以相同的速度,沿4A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,△PAB面积为y,如果y与x的函数图象如图②所示,则矩形ABCD的面积为24.【解答】解:从图象②和已知可知:AB=4,BC=10﹣4=6,所以矩形ABCD的面积是4×6=24.故答案为:24.三.解答题1.(2018·广西贺州·12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A.B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(﹣1,4).(1)求A.B两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B.D两点间的一个动点(点P不与B.D两点重合),PA.PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.【解答】解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A.B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,得A点坐标(﹣3,0),B点坐标(1,0);(2)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1),把C点坐标代入函数解析式,得a(0+3)(0﹣1)=3,解得a=﹣1,抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值),理由如下:5过点P作PQ∥y轴交x轴于Q,如图.设P(t,﹣t2﹣2t+3),则PQ=﹣t2﹣2t+3,AQ=3+t,QB=1﹣t,∵PQ∥EF,∴△AEF∽△AQP,∴=,∴EF===×(﹣t2﹣2t+3)=2(1﹣t);又∵PQ∥EG,∴△BEG∽△BQP,∴=,∴EG===2(t+3),∴EF+EG=2(1﹣t)+2(t+3)=8.2.(2018·湖北江汉·12分)抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l:y=t(t<)上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象.(1)点A,B,D的坐标分别为(,0),(3,0),(,);(2)如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处.当点E在△ABC内(含边界)时,求t的取值范围;(3)如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.6【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标,再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标;(2)由点D的坐标结合对称找出点E的坐标,根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组,解之即可得出t的取值范围;(3)假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m,分m<或m>3及≤m≤3两种情况,利用勾股定理找出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,进而可找出点P的坐标,此题得解.【解答】解:(1)当y=0时,有﹣x2+x﹣1=0,解得:x1=,x2=3,∴点A的坐标为(,0),点B的坐标为(3,0).∵y=﹣x2+x﹣1=﹣(x2﹣x)﹣1=﹣(x﹣)2+,∴点D的坐标为(,).故答案为:(,0);(3,0);(,).(2)∵点E.点D关于直线y=t对称,∴点E的坐标为(,2t﹣).当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1,∴点C的坐标为(0,﹣1).设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,将B(3,0)、C(0,﹣1)代入y=kx+b,7,解得:,∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1.∵点E在△ABC内(含边界),∴,解得:≤t≤.(3)当x<或x>3时,y=﹣x2+x﹣1;当≤x≤3时,y=x2﹣x+1.假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m.①当m<或m>3时,点Q的坐标为(m,﹣x2+x﹣1)(如图1),∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,∴CP⊥PQ,∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(﹣m2+m)2=m2+1+m2+(﹣m2+m﹣1)2,整理,得:m1=,m2=,∴点P的坐标为(,0)或(,0);②当≤m≤3时,点Q的坐标为(m,x2﹣x+1)(如图2),∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,∴CP⊥PQ,∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2﹣m+2)2=m2+1+m2+(m2﹣m+1)2,整理,得:11m2﹣28m+12=0,解得:m3=,m4=2,∴点P的坐标为(,0)或(1,0).8综上所述:存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为(,0)、(,0)、(1,0)或(,0).3.(2018·四川省攀枝花)如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM(P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.(1)求cosA的值;(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时,求t的值;(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.解:(1)如图1中,作BE⊥AC于E.∵S△ABC=•AC•BE=,∴BE=.在Rt△ABE中,AE==6,∴coaA===.9(2)如图2中,作PH⊥AC于H.∵PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t,∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9﹣9t)2.∵S△PQM=S△QCN,∴•PQ2=וCQ2,∴9t2+(9﹣9t)2=×(5t)2,整理得:5t2﹣18t+9=0,解得t=3(舍弃)或,∴当t=时,满足S△PQM=S△QCN.(3)①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.易知:PM∥AC,∴∠MPQ=∠PQH=60°,∴PH=HQ,∴3t=(9﹣9t),∴t=.②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.同法可得PH=QH,∴3t=(9t﹣9),∴t=.综上所述:当t=s或s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.104.(2018·吉林长春·10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A.B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段DC的长;(2)当点Q与点C重合时,求t的值;(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式;(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,直接写出t的值.【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;(2)利用AD+DQ=AC,即可得出结论;(3)分两种情况,利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论;(4)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论.【解答】解:(1)在Rt△ABC中,∠A=30°,AB=4,∴AC=2,∵PD⊥AC,∴∠ADP=∠CDP=90°,在Rt△ADP中,AP=2t,∴DP=t,AD=APcosA=2t×=t,∴CD=AC﹣AD=2﹣t(0<t<2);(2)在Rt△PDQ中,∵∠DPC=60°,∴∠PQD=30°=∠A,∴PA=PQ,∵PD⊥AC,∴AD=DQ,∵点Q和点C重合,∴AD+DQ=AC,∴2×t=2,∴t=1;(3)当0<t≤1时,S=S△PDQ=DQ×DP=×t×t=t2;11当1<t<2时,如图2,CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2t﹣2=2(t﹣1),在Rt△CEQ中,∠CQE=30°,∴CE=CQ•tan∠CQE=2(t﹣1)×=2(t﹣1),∴S=S△PDQ﹣S△ECQ=×t×t﹣×2(t﹣1)×2(t﹣1)=﹣t2+4t﹣2,∴S=;(4)当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,如图3,∴∠PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2,∵∠A=∠AQP=30°,∴∠FPG=60°,∴∠PFG=30°,∴PF=2PG=2t,∴AP+PF=2t+2t=2,∴t=;当PQ的垂直平分线过AC的中点M时,如图4,∴∠QMN=90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t,在Rt△NMQ中,NQ==t,∵AN+NQ=