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1二次函数一、选择题1．（2018•山东枣庄•3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4acB．ac＞0C．2a﹣b=0D．a﹣b+c=0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．2．（2018•四川成都•3分）关于二次函数，下列说法正确的是（）A.图像与轴的交点坐标为B.图像的对称轴在轴的右侧C.当时，的值随值的增大而减小D.的最小值为-3【答案】D2【考点】二次函数的性质，二次函数的最值【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=-1，图像与轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；B、对称轴为直线x=-1，对称轴再y轴的左侧，因此B不符合题意；C、当x＜-1时y的值随值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；D、a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；故答案为：D【分析】求出抛物线与y轴的交点坐标，可对A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对B作出判断；根据二次函数的增减性，可对C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对D作出判断；即可得出答案。1.（2018•山东菏泽•3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，∴a＞0，∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，∴a、b异号，即b＜0．∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0．∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，故选：B．3【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．2.（2018•山东滨州•3分）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．1.（2018·湖南省衡阳·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）4A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），∴x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+c=0，所以①错误；∵2≤c≤3，而c=﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C．1.（2018·山东青岛·3分）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．5【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＜0、c＞0是解题的关键．2.（2018·山东泰安·3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先利用二次函数图象得出a，b的值，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案．【解答】解：由二次函数开口向上可得：a＞0，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则b＞0，故反比例函数y=图象分布在第一、三象限，一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a，b的值是解题关键．3.（2018·山东威海·3分）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（）6A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3mB．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．斜坡的坡度为1：2【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，整理得x2﹣8x+15=0，解得，x1=3，x2=5，∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；y=4x﹣x2=﹣（x﹣4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；，解得，，，则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的﹣坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关7键．4.（2018·山东威海·3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）A．abc＜0B．a+c＜bC．b2+8a＞4acD．2a+b＞0【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（A）由图象开口可知：a＜0由对称轴可知：＞0，∴b＞0，∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故A正确；（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，∴y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故B正确；（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，∴＞2，a＜0，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，故C正确；（D）对称轴x=＜1，a＜0，∴2a+b＜0，故D错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．5.（2018·山东潍坊·3分）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据8二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．1．（2018•北京•2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系2yaxbxc（0a）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为4020O46.254.057.9x/my/mA．10mB．15mC．20mD．22.5m【答案】B【解析】设对称轴为xh，由（0，54.0）和（40，46.2）可知，040202h，9由（0，54.0）和（20，57.9）可知，020102h，∴1020h，故选B．【考点】抛物线的对称轴．2.（2018•甘肃白银，定西，武威•3分）如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【答案】A【解析】【分析】由开口方向和对称轴的位置可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=3时可判断③；根据函数在时取得最大值，可以判断④，由-1x3时，函数图象位于x轴上方可判断⑤．【解答】∵抛物线的开口向下，∴a0，抛物线的对称轴可知：故①正确；∵抛物线的对称轴∴b=−2a，即2a+b=0，故②正确；由图象知当x=3时，把b=−2a代入得：故③错误；故④正确；由图象可知，当−1x3时，函数图象有些部分位于x轴上方，故⑤错误.故选A.【点评】考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，不等式等知识点，难度适中，属于高频考点.1.（2018•湖南省永州市•4分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（）10A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．【解答】解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴