2019年中考数学真题分类训练——专题十九：二次函数综合题

2019年中考数学真题分类训练——专题十九：二次函数综合题1．（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=233373848xx与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？解：（1）令233373848xx=0，解得x1=1，x2=–7．∴A（1，0），B（–7，0）．由y=233373848xx=23(3)238x得，D（–3，–23）；（2）∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF=∠DD1F=90°，∵∠D1FD=∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴11DDCOFDOF，∵D（–3，–23），∴D1D=23，OD=3，∵AC=CF，CO⊥AF，∴OF=OA=1，∴D1F=D1O–OF=3–1=2，∴2321OC，∴OC=3，∴CA=CF=FA=2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC=∠ACF，∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，∴∠ECF=∠AFC=60°，∴EC∥BF，∵EC=DC=223(323)=6，∵BF=6，∴EC=BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（3）∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x，233373848xx），①当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴11DDDAPMMA或11DDDAAMPM，∴2234133373848xxx或2234133373848xxx，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–11或x1=1（不合题意舍去）x2=–373；当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴11DDPMAMDA或11DAPMMADD，∴2333732384814xxx或2333734848123xxx，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴PMAM=11DDDA或PMMA=11DADD，∴2333732384814xxx或2333734848123xxx，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53；综上所述，点P的横坐标为–11或–373或–53；②由①得，这样的点P共有3个．2．（2019深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．解：（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3，对称轴为x=1．（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC10、DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，取点A′（-1，1），则A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE101A′D+DC′101A′C′10113．（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，又∵S△PCB∶S△PCA12EB×（yC-yP）∶12AE×（yC-yP）=BE∶AE，则BE∶AE=3∶5或5∶3，则AE52或32，即：点E的坐标为（32，0）或（12，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，联立22363yxxyx并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．3.（2019雅安）已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），点P（P与O不重合）是图象上的一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴。PM⊥l于点M，点F（0，-1）．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求MRRN的值；（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．xylO(0,1)F(0,-1)解：（1）∵y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），∴-1=a×22，即a=14，∴214yx；（2）设214yx的图象上的点P（x1,y1）,则M(x1，1)，21114yx，即x12=-4y1，PM=｜1-y1｜，又PF=2211(0)(y1)x=2211121xyy=2111421yyy=21(y1)=｜y1-1｜=PM，即PF=PM，∴点P在线段MF的中垂线上；（3）连接RF，∵R在线段MF的中垂线上，∴MR=FR，又∵PM=PF，PR=PR，∴△PMR≌△PFR，∴∠PFR=∠PMR=90°，∴RF⊥PF，连接RQ，又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中，∵Q在214yx的图象上，由（2）结论知∴QF=QN，∵RQ=RQ，∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ，即RN=FR，即MR=FR=RN，∴1MRRN；（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN，∴∠PRQ=12（∠MRF+∠FRN）=90°，∴点R在以线段PQ为直径的圆上．4．（2019南宁）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，–1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（–6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1=0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2=0），令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．解：（1）C1顶点在C2上，C2顶点也在C1上，由抛物线C1：y1=14x2+x可得A（–2，–1），将A（–2，–1），D（6，–1）代入y2=ax2+x+c得4213661acac，解得142ac，∴y2=–14x2+x+2，∴B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y=x+1，①若B为直角的顶点，BE⊥AB，kBE•kAB=–1，∴kBE=–1，则直线BE的解析式为y=–x+5．联立25124yxyxx，解得23xy或61xy，此时E（6，–1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，kAE•kAB=–1，∴kAE=–1，则直线AE的解析式为y=–x–3，联立23124yxyxx，解得21xy或1013xy，此时E（10，–13）；③若E为直角顶点，设E（m，–14m2+m+2）由AE⊥BE得kBE•kAE=–1，即22111344122mmmmmm，解得m=2或–2（不符合题意均舍去），∴存在，∴E（6，–1）或E（10，–13）；（3）∵y1≤y2，观察图形可得：x的取值范围为–2≤x≤2，设M（t，14t2+t），N（t，−14t2+t+2），且–2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y=–x–3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，由yQ=yM，得Q（14t2−t−3，14t2+t），S1=12|QM|•|yF–yA|=12t2+4t+6，设AB交MN于点P，易知P坐标为（t，t+1），S2=12|PN|•|xA–xB|=2–12t2，S=S1+S2=4t+8，当t=2时，S的最大值为16．5．（2019广州）已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点．（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3．（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3，∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3），∴x=m+1，y=-m-3，∴x+y=m+1-m-3=-2，即x+y=-2，变形得y=-x-2，∵m0，m=x-1，∴x-10，∴x1，∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x1）．（3）法一：如图，函数H：y=-x-2（x1）图象为射线，x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4，∴函数H的图象恒过点B（2，-4），∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3，∴抛物线G恒过点A（2，-3），由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yByPyA，∴点P纵坐标的取值范围为-4yP-3．法二：2223yxymxmx，整理的：m（x2-2x）=1-x，∵x1，且x=2时，方程为0=-1不成立，∴x≠2，即x2-2x=x（x-2）≠0，∴m1(2)xxx0，∵x1，∴1-x0，∴x（x-2）0，∴x-20，∴x2，即1x2，∵yP=-x-2，∴-4yP-3，6．（2019海南）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（–5，0），B（–4，–3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：2555016453abab，解得16ab，故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5．（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F.在抛物线y=x2+6x+5中，令y=0，则x2+6x+5=0，解得x=–5，x=–1，∴点C的坐标为（–1，0）.由点B（–4，–3）和C（–1，0），可得直线BC的表达式为y=x+1.设点P的坐标为（t，t2+6t+5），由题知–4t–1，则点F（t，t+1），∴FP=（t+1）–（t2+6t+5）=–t2–5t–4，∴S△PBC=S△FPB+S△FPC=12·FP·3=23542tt