2019年中考数学真题分类训练——专题十五：锐角三角形（含解析）

2019年中考数学真题分类训练——专题十五：锐角三角形一、选择题1．（2019广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【答案】C2．（2019温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为A．95sin米B．95cos米C．59sin米D．59cos米【答案】B3．（2019广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=25，则此斜坡的水平距离AC为A．75mB．50mC．30mD．12m【答案】A4．（2019台州）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于A．14B．12C．817D．815【答案】D5．（2019杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于A．asinx+bsinxB．acosx+bcosxC．asinx+bcosxD．acosx+bsinx【答案】D6．（2019金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是A．∠BDC=∠αB．BC=m•tanαC．AO2sinmD．BDcosm【答案】C二、填空题7．（2019杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=__________．【答案】32或2558．（2019宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为__________米．（精确到1米，参考数据：21.414，31.732）【答案】5679．（2019甘肃）在△ABC中，∠C=90°，tanA=33，则cosB=__________．【答案】1210．（2019衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是__________米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．【答案】1.511．（2019舟山）如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC255AB2，则tanC=__________．【答案】512．（2019金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是__________．【答案】40°13．（2019湖州）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD=α．若AO=85cm，BO=DO=65cm．问：当α=74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为__________cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）【答案】12014．（2019金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB=50cm，CD=40cm．（1）如图3，当∠ABE=30°时，BC=__________cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为__________cm2．【答案】（1）90﹣453；（2）2256．三、解答题15．（2019海南）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．（1）填空：∠BAC=__________度，∠C=__________度；（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．解：（1）由题意得：∠BAC=90°–60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠C=180°–∠BAC–∠ABC=45°；故答案为：30，45；（2）∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°，∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC，∵∠BAC=30°，∴PA=3BP，∵PA+PC=AC，∴BP+3BP=10，解得BP=53–5．答：观测站B到AC的距离BP为（53–5）海里．16．（2019台州）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．解：过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，∵sin∠ABDADAB，∴AD=92×0.94≈86.5，∵DE=6，∴AE=AD+DE=92.5，∴把手A离地面的高度约为92.5cm．17．（2019深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．解：如图，在Rt△ABD中，AB=AD=600，作EM⊥AC于M，则AM=DE=500，∴BM=100，在Rt△CEM中，tan53°=CMEM=600CM=43，∴CM=800，∴BC=CM–BM=800–100=700（米）．答：隧道BC长为700米．18．（2019绍兴）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC=150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD=165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：21.41，31.73）解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA=∠BOE=∠BAE=90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA=90°，∴∠DBO=150°﹣90°=60°，∴OD=BD•sin60°=203（cm），∴DF=OD+OE=OD+AB=2035≈39.6（cm）．（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH=60°，∠CHB=90°，∴∠BCH=30°，∵∠BCD=165°，∠DCP=45°，∴CH=BCsin60°=103cm，DP=CDsin45°=102cm，∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=（1021035）（cm），∴下降高度：DE﹣DF=2035﹣1021035=1031023.2（cm）．19．（2019天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．解：在Rt△CAD中，tan∠CAD=CDAD，则AD=tan31CD≈53CD，在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD，∵AD=AB+BD，∴53CD=CD+30，解得CD=45，答：这座灯塔的高度CD约为45m．20．（2019新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：则∠PCA=∠PCB=90°，由题意得：PA=80，∠APC=45°，∠BPC=90°-30°=60°，∴△APC是等腰直角三角形，∠B=30°，∴AC=PC=22PA=402．答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为402海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：∵∠PCB=90°，∠B=30°，∴BC=3PC=406，∴AB=AC+BC=402+406，∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间=402406424641.4142.453033≈5.15（小时）＞5小时，∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．21．（2019舟山）某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，31.73）解：（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，∴∠DCG=180°–∠CDE=110°，∴BCG=∠BCD–∠GCD=30°，∴∠ABC=180°–∠BCG=150°；（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°≈0.51（米），在Rt△BCN中，CN=BC×cos30°≈1.04（米），所以，DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35（米），如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在Rt△CKD中，DK=CD×sin50°≈1.16（米），所以，DH=DK+KH=3.16（米），所以，DH–DE≈0.8（米），所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置约高了0.8米．22．（2019吉林）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）解：如图，过点C作CF⊥AB于F，则∠AFC=90°，在Rt△ACF中，AC=30，∠CAF=43°，∵cos∠CAF=AFAC，∴AF=AC•cos∠CAF=30×0.73=21.9，∴CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9≈192（cm）