2020年甘肃省兰州市中考数学真题及答案

2020年甘肃省兰州市中考数学真题及答案一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1.－2020的绝对值是(C)．2.如图是有5个完全相同的小正方形组成的几何体,则该几何体的主视图是(A)．A．B．C．D．3.据中国电子商务研究中心（100EC．CN）发布《2020年度中国共享经济发展报告》显示，截止2020年12月，共有190家共享经济平台获得1159．56亿元投资．数据1159．56亿元用科学计数法可表示为（C）A.1159．56×108元B.11.5956×1010元C.1.15956×1011元D.1.15956×108元4.下列二次根式中,是最简二次根式的是(B).A.18B.13C.27D.125如图,AB//CD,AD＝CD，∠1＝65°则∠2的度数是（A）A．50°B．60°C．65°D．70°6.下列计算正确的是（D）A.abaa532B.1243aaaC.24226)3-baba（D.22352aaaa7.如图,边长为4的等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的面积是（A）A.3B.23C.433D.328.如图,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,BE//DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长度是（C）A.7B．83C．87D．859．如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F．若ABD＝48°，CFD＝40°，则E为（B）A．102°B．112°C．122°D．92°10．关于x的分式方程112xax的解为负数，则a的取值范围为（D）A.a＞1B．a＜1C．a＜1且a－2D．a＞1且a2D.解析：化简得x＝a－10（x－1）即a1且a2．11．如图，已知二次函数)0(2acbxaxy的图像如图所示，有下列5个结论：①0＞abc；②b－a＞c；③)1)((ba;a3024的实数＞⑤＞；④＞mbammccba．其中正确的结论有(第7题)CAEDBABCDEFAEBDCF第11题图xOy-11（B）A.①②③B.②③⑤C.②③④D.③④⑤B.解析：开口向下，a0，与y轴交点在上方，c0，021＞abxx，即b0，故0＜abc；x＝－1时，y＝a－b＋c0，故b－ac；x＝2时，y＝4a＋2b＋c0；acxx21是2到3之间的数x－1到0之间的数－3，故3a－c；⑤式化解得，0)(2babmam，0)1()1(2＜bmam，无论m大于1还是1，该式总成立，故⑤成立，即答案为B．12．如图，抛物线2457212xxy与x轴的交于点A、B，把抛物线在x轴即其下方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴的交于点B、D．若直线mxy21与C1、C2共有三个不同的交点，则m的取值范围是（C）A.25-m845B.21-m829C.25-m829D.21-m845C.解析:在y＝2457212xx中，令y＝0，解得x1＝9,x2＝5，∴点A，B的坐标分别为（9，0），（5，0）．∵C2是由C1向左平移得到的，∴点D的坐标为（1，0），C2对应的函数解析式为y＝23212）（x＝253212xx（1≤x≤5）．当直线y＝mx21与C2相切时，可知关于x的一元二次方程253212xx＝mx21有两个相等的实数根，即方程x2－7x＋5－2m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（－7）2－4×1×（5－2m）＝0，解得m＝829．当直线y＝mx21过点B时，可得0＝m521，解得m＝25．如图，故当829m25，直线yODABC2C1y＝mx21与C1，C2共有3个不同的交点．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共24分．13．因式分解：32yyx＝．y(x＋y)(x－y)14．不等式组xxxx32-133475)1(2的解集为．－1x3.15．如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧AB的长是．211.13.如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AB交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．OACBN第16题图MFEDBAC353三、解答题（本大题共11小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：45tan2-13-2102π．解:2-71)12(14原式．18.解方程:02232xx．解:移项,得3x2－2x＝2,配方,得3（x－31）2＝37,解得x1＝371，x2＝371．19．先化简，再求值：12)143(xxxxx，其中21x．解:原式＝211442xxxxx＝2x,代入21x得原式＝25．20.（6分）如图，在Rt△ABC中．（1）利用尺度作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的长；（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）CAB第20题图解:∠A的角平分线作法.作图略．21．（7分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛帮助，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．学生借阅图书的次数统计表学生借阅图书的次数统计图借阅图书的次数0次1次2次3次4次及以上人数713a103请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）该调查统计数据的中位数是，众数是；（3）请计算扇形统计图中的“3次”所对应的圆心角的度数；（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，统计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．解:(1)17，20%.310137%2613a＝17,b＝%261310＝20%；(2)10,10.由中位数和众数的定义即可得；（3）72°.360°20%＝72°；（4）120人.1205032000（人）22．（7分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状是、大小完全相同．李强从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机2次0次1次26%3次b%4次及以上取出一个小球，记下数字为y，这样就确定了点M的坐标（x，y）．（1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝x＋1的图像上的概率．解:（1）x111222333444y234134124123（2）41.解:一共12个点坐标，有三个点坐标在上面．23.（7分）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°，60°．求CD的高度．（结果保留根号）解:过B点作CD的垂线，垂足为F,设CD＝x米,则DF＝（x－3）（米），BF＝AC，BF＝)x(330tan米DE，AC＝AE＋CE＝xCD331830tan18，即xx33183，解得，39x，即CD长为93米．24．（7分）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商家管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天的销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30，且x为整数）的销量为y件．BADCFE（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？解:（1）y＝38＋2x；解析：y＝40＋2（x－1）＝2x＋38；（2）1580145382xxw＝20412122x故x＝21时，w值最大，为2041元，即第21天时，利润最大，最大利润为2041元．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax＋b的图像与反比例函数xky2的图像交于点A（1，2）和B（－2，m）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）请直接写出21y＞y时，x的取值范围；（3）过点B做BE//x轴，BEAD于点D，点C是直线BE上一点，若AC＝2CD，求点C的坐标．解:（1）xyxy2;121；解析：代入点坐标即可；（3）),1(0,2；解析：观察图像可知；（3）C点的坐标为1-3-11,31，和；解析：易知D（1，－1），设C点坐标为（x，－1），故AC＝223)1(x，BC＝1x，由AC＝2BC可知，224BCAC，即2221431xx，解得313121xx，，故C点的坐标为y2y1yxDOAEB第25题图1-3-11,31，和．26．（8分）如图，在ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G．连接AD、CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝23，求AB的长．证明（1）.//)(//是平行四边形四边形又△△又∵的中点是∵AFCDCDAFCDAFASACEDAEFCEAECEDAEFDCEFAECDAFCEAEACE（2）6,29,29//BFAFABCDAFCDCDBFGCGBGCDGBFCDBF又代入数值，可得∽△易得△∵即AB的长为6．27．（9分）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点，BACD．（1）求证：DC为圆O的切线；（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F，且CEF＝45°，圆O的半径为5，53sinB，求CF的长．AFCOBDEADCBEFG第26题图（1）连接OC，.909090的切线是圆的直径是圆∵∵OCDCDOCOCADACOCBOCAACBOABOCBOBCOCOB（2）解析：由∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，可知，∠CFE＝∠CEF＝45°，即CF＝CE．由53sinB，可得AC＝6,由勾股定理得，BC＝8，设CF＝CE＝x，由∠CDE＝∠BDF，∠ECD＝∠FBD，可知，△CED相似于△BFD，即①xxCDFDCEBF8，由∠CFD＝∠AED，∠EDA＝∠FDC，可知△CFD相似于△AED，即②xxEDFDAECF6，联立①②得，724x，即CF的长为724．28．（12分）如图，抛物线42bxaxy经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ABM是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．ACBxyO解:（1）将A，B两点的坐标分别代入，得，44525,0439baba解得,65,61ba故抛物线的表达式为y＝465612xxy．（2）证明：设直线AB的表达式为y＝kx＋b’，则,4'5,0'3bkbk解得,23',21bk故直线AB的表达式为y＝2321x．设直线AB与y轴的交点为点D，则点D的坐标为（0，23）．易得点C的坐标为（0，－4），则由勾股定理，可得AC＝5)04(]30[22）（．设点B到直线AC的距离为h，则52132121CDCDACh,解得h＝4．易得点B到x轴的距离为4，故AB平分∠CAO．（3）存在．易得抛物线的对称轴为直线25x，设