2021年广东省初中学业水平考试数学真题-解析版

2021年广东省初中学业水平考试数学本试卷共4页，25小题，满分120分，考试用时90分钟.注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”·2.作管选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列实数中，最大的数是（）A．B．2C．2D．3【答案】A【解析】考查实数的大小比较，涉及有理数、无理数、绝对值2．据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（）A．90.51085810B．751.085810C．45.1085810D．85.1085810【答案】D【解析】考查科学记数法的表示方法，一般把大于10的数表示成10110naa≤＜3．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（）A．112B．16C．13D．12【答案】B【解析】如图，总事件有36种，和为7的事件有6种，所以61366P4．已知93m，274n，则233mn（）A．1B．6C．7D．12【答案】D【解析】23233339713422mnmnmn，考查幂的运算公式的灵活变形5．若22391240aaabb，则ab（）A．3B．92C．43D．9【答案】B【解析】因为22391240aaabb，且30a≥，2291240aabb≥所以3=0a，222912432320aabbabab所以3a，33322ab，所以339322ab,考查绝对值、二次根式的非负性。6．下列图形是正方体展开图的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】考查正方体展开图的11种样式的记忆，第一个属于2-3-1样式，第三个属于2-2-2样式，第三个属于3-3样式7．如题7图，AB是Oe的直径，点C为圆上一点，3AC，ABC的平分线交AC于点D，1CD，则Oe的直径为（）A．3B．23C．1D．2【答案】B【解析】作DHAB于H点，根据角平分线的性质可得1DHDC,而312ADACCD，易得30A，所以直径32323cos303AB，考查圆中的计算（结合角平分线、三角函数）8．设610的整数部分为a，小数部分为b，则210ab的值是（）A．6B．210C．12D．910【答案】A【解析】易得91016＜＜，所以91016＜＜即（3104＜＜），因此可得2a，6102410b，所以2104104106ab，考查实数的整数部分、小数部分的转化，以及平方差公式的运算9．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记2abcp，则其面积Sppapbpc．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若5p，4c，则此三角形面积的最大值为（）A．5B．4C．25D．5【答案】C【解析】把5p，4c代入Sppapbpc可得555Sab，因为2abcp，所以210abcp，而4c，所以6ab，∴6ba，把6ba代入555Sab可得225515655320Saaaaa，当3a时，S最大，最大值为2025，考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方10．设O为坐标原点，点A、B为抛物线2yx上的两个动点，且OAOB．连接点A、B，过O作OCAB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．2B．22C．32D．1【答案】A【解析】如图，设直线AB解析式为ykxb联立：2yxykxb，化简得20xkxb不妨设11Axy，,22Bxy，则12xxk，12xxb作AEx轴，BFx轴，易得OAEBOF△∽△则AEOFOEBF即（1212yxxy），化简可得12120xxyy而22222212121212yykxbkxbkxxkbxxbbkkbbb所以有20bb，因此1b（0b需要舍去）即直线AB过定点01，，因此AB：1ykx易得直线OC的解析式为：1yxk，联立11yxkykx，解得22111kxkyk即22111kCkk，xyFEHDCBAO点C到y轴距离21kdCHk，则21dkk，化简可得20dkkd，由于关于k的一元二次方程有实数根，因此满足Δ0≥，即2140d≥，因此214d≤，因此102d≤≤本题考查二次函数与一定函数结合时过定点背景下的最值求法，涉及相似三角形、一元二次方程等多个考点二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分．11．二元一次方程组2222xyxy的解为_________．【答案】22xy【解析】2222xyxy①②，①+②可得0xy③，①－③得，2y，把2y代入③得2x因此22xy，考查二元一次方程组的解法12．把抛物线221yx向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________．【答案】224yxx【解析】考查二次函数的图象变换，根据“上加下减，左加右减”可得平移后的解析式为2212yx，化简即得224yxx13．如题13图，等腰直角三角形ABC中，90A，4BC．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】4【解析】211142π24π424ABCBSSS△⊙阴影，考查阴影面积的求法（主要还是用整体减去局部）14．若一元二次方程20xbxc（b，c为常数）的两根1x，2x满足131x，213x，则符合条件的一个方程为_________．【答案】240x（答案不唯一）【解析】不妨设12x，22x，则满足题意的其中一个方程是240x，本题考查一元二次方程根与系数的关系（已知两根范围，表达原方程，需要有逆推的思维）15．若1136xx且01x，则221xx_________．【答案】6536【解析】因为1136xx，且22211132544636xxxx因此156xx而01x，可得10xx＜因此156xx，所以22111135656636xxxxxx本题考查完全平方公式的变形运算以及因式分解的技巧16．如题16图，在ABCDY中，5AD，12AB，4sin5A．过点D作DEAB，垂足为E，则sinBCE_________．【答案】91050【解析】作BHCE，在BCE△中，由等积法可得1122BEDECEBH易得4DE，3AE,9BE,410CE∴9491010410BH∴9101910sin10550BHBCEBC17．在ABC△中，90ABC，2AB，3BC．点D为平面上一个动点，45ADB，则线段CD长度的最小值为_____．【答案】52【解析】如图1，根据45ADB，2AB（定弦定角），作ABD△的外接圆O，连接OC，交O⊙于D（图2），此时CD的值最小，根据45ADB，得90AOB，因此222OAOBOD，作OHBC，可得1BHOH，所以2CH，所以22125OC，所以min52CD本题考查动点与隐圆条件下的最值，难度较大，需要根据条件发散思维54101243125HEDCBA图（2）图（1）HDABC2345°OO45°D′32DCBA三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分．18．解不等式组2432742xxxx．【答案】解：2432742xxxx②①．①式得：2436xx移项得：2x2x．…………………………2分②2得：87xx77x1x．…………………………4分所以原不等式组的解集为12x．…………………………6分19．某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如题19图：（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．【答案】解：（1）众数：90，中位数：90，…………………………2分平均数8028539089551002=20=90.5．…………………………4分（2）20名中有852=15人为优秀，优秀等级占比：153=204该年级优秀等级学生人数为：3600=4504（人）答：该年级优秀等级学生人数为450人．…………………………6分20．如题20图，在RtABC△中，90A，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CEAB．（1）若1AE，求ABD△的周长；（2）若13ADBD，求tanABC的值．【答案】解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，…………………………1分DFQ为BC垂直平分线，BDCD，…………………………2分ABDCABADBD△ABADDCABAC，ABCEQ，1ABDCACCEAE△．…………………………3分（2）设ADx，3BDx，…………………………4分又BDCDQ，4ACADCDx，在RtABD△中，2222322ABBDADxxx．…………………………5分4tan222ACxABCABx．…………………………6分四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数0ykxbk的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数4yx图象的一个交点为1,Pm．（1）求m的值；（2）若2PAAB，求k的值．【答案】解：（1）PQ为反比例函数4yx上一点，代入得441m，4m．…………………………2分（2）令0y，即0kxb，bxk，,0bAk，令0x，yb，0,Bb，2PAABQ．由图象得，可分为以下两种情况，①B在y轴正半轴时，0b，2PAABQ，过P作PHx轴交x轴于点H，又11BOAH，111PAOBAO，111AHPAOB∽△△，11111112ABAOBOAPAHPH，1114222BOPH，2b，11AOOH，1bk，2k．……………………