2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2()3()46zzzzi，则z(）A.12iB.12iC.1iD.1i答案：C解析：设zabi，则zabi，2()3()4646zzzzabii，所以1a，1b，所以1zi.2.已知集合{|21,}SssnnZ，{|41,}TttnnZ，则ST()A.B.SC.TD.Z答案：C解析：21sn，nZ；当2nk，kZ时，{|41,}SsskkZ；当21nk，kZ时，{|43,}SsskkZ.所以TSÜ，STT.故选C.3.已知命题:pxR﹐sin1x；命题||:,1xqxRe，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.()pq答案：A解析：根据正弦函数的值域sin[1,1]x，故xR，sin1x，p为真命题，而函数||xyye为偶函数，且0x时，||1xye，故xR，||1xye恒成立.，则q也为真命题，所以pq为真，选A.4.设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1fxB.1()1fxC.1()1fxD.1()1fx答案：B解析：12()111xfxxx，()fx向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()gxx为奇函数.5.在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.2B.3C.4D.6答案：D解析：如图，1PBC为直线PB与1AD所成角的平面角.易知11ABC为正三角形，又P为11AC中点，所以16PBC.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种答案：C解析：所求分配方案数为2454240CA.7.把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin()4yx的图像，则)(fx（）A.7sin()212xB.sin()212xC.7sin(2)12xD.sin(2)12x答案：B解析：逆向：231sin()sin()sin()412212yxyxyx左移横坐标变为原来的倍.故选B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.79B.2332C.932D.29答案：B解析：由题意记(0,1)x，(1,2)y，题目即求74xy的概率，绘图如下所示.故113311123224411132ABCDAMANSPS阴正.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点,,EHG在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB（）A.表高表距表高表目距的差B.表高表距表高表目距的差C.表高表距表距表目距的差D.表高表距表距表目距的差答案：A解析：连接DF交AB于M，则ABAMBM.记BDM，BFM，则tantanMBMBMFMDDF.而tanFGGC，tanEDEH.所以11()()tantantantanMBMBGCEHGCEHMBMBMBFGEDED.故EDDFMBGCEH表高表距表目距的差，所以高AB表高表距表高表目距的差.10.设0a，若xa为函数2()()()fxaxaxb的极大值点，则A.abB.abC.2abaD.2aba答案：D解析：若0a，其图像如图（1），此时，0ab；若0a，时图像如图（2），此时，0ba.综上，2aba.11.设B是椭圆C：22221(0)xyabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足，2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A.2[,1)2B.1[,1)2C.2(0,]2D.1(0,]2答案：C解析：由题意，点(0,)Bb，设00(,)Pxy，则2222200002221(1)xyyxaabb，故22222222222000000022()(1)22ycPBxybaybybybyabbb，0[,]ybb.由题意，当0yb时，2PB最大，则32bbc，22bc，222acc，22cca，2(0,]2c.12.设2ln1.01a，ln1.02b，1.041c，则（）A.abcB.bcaC.bacD.cab答案：B解析:设()ln(1)121fxxx，则(0.02)bcf，易得1212(1)()1212(1)12xxfxxxxx.当0x时，21(1)12xxx，故()0fx.所以()fx在[0,)上单调递减，所以(0.02)(0)0ff，故bc.再设()2ln(1)141gxxx，则(0.01)acg，易得2414(1)()21214(1)14xxgxxxxx.当02x时，214121xxxx，所以()gx在[0.2)上0.故()gx在[0.2)上单调递增，所以(0.01)(0)0gg，故ac.综上，acb.二、填空题13.已知双曲线C：221(0)xymm的一条渐近线为30xmy，则C的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为byxa，由题意得2am，21b，且一条渐近线方程为3yxm，则有0m（舍去），3m，故焦距为24c.14.已知向量(1,3)a，(3,4)b，若()abb，则.答案：35解析：由题意得()0abb，即15250，解得35.15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b.答案：22解析：13sin324ABCSacBac，所以4ac，由余弦定理，222328bacacacacac，所以22b.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC平面ABC，2PAPC，5BABC，2AC，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA平面ABC，1PA，5ACAB，2BC，俯视图为④.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别己为21s和22S.（1）求x，y，21s，22s：（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210ssyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)。答案：见解析解析：（1）各项所求值如下所示.1(9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7)10.010x，1(10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5)10.310y，22222211[(9.710.0)2(9.810.0)(9.910.0)2(10.010.0)(10.110.0)10s222(10.210.0)(10.310.0])0.036，2222221[(10.010.3)3(10.110.3)(10.310.3)2(10.410.3)10s222(10.510.3)(10.610.3])0.04.（2）由（1）中数据得22120.3,20.3410ssyx.显然2212210ssyx.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC,M为BC的中点，且PBAM.（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值.答案：见解析解析：（1）因为PD平面ABCD，且矩形ABCD中，ADDC.所以以DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.设BCt，0(,0,)At，0(,1,)Bt，(,1,0)2tM，)(0,0,1P，所以(,1,1)PBt，(,1,0)2tAM因为PBAM，所以2102tPBAM所以2t，所以2BC.(2)设平面APM的一个法向量为,)(,mxyz，由于(2,0,1)AP，则20202mAPxzmAMxy.令2x，的(2,1,2)m.设平面PMB的一个法向量为(,,)nxyz，则2020nCBxnPBxyz.令1y，的(0,1,1)n.所以3314cos,14||||72mnmnmn，所以二面角APMNB的正弦值为7014.19.记nS为数列{}na的前n项和，nb为数列{}nS的前n项积，已知212nnSb.（1）证明：数列{}nb是等差数列；（2）求{}na的通项公式.答案：见解析解析：（1）由已知212nnSb，则1(2)nnnbSnb，1112112222(2)2nnnnnnnbbbbbnbb，132b，故{}nb是以32为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）知312(1)222nnbn，则222221nnnSSnn，1n时，1132aS，2n时，12111(1)nnnnnaSSnnnn，故3,121,2(1)nnannn.20.设函数()ln()fxax，已知0x是函数()yxfx的极值点.（1）求a；（2）设函数()()()xfxgxxfx，证明：()1gx.答案：见解析解析：（1）令()()ln()hxxfxxax则()ln()xhxaxax.∵0x是函数()yxfx的极值点.∴(0)0h.解得：1a；（2）由（1）可知：()ln(1)fxx()11()()()xfxgxxfxfxx，要证()1gx，即证111110()ln(1)xfxxxx（1x且0x）(1)ln(1)0ln(1)xxxxx.∵当0x时，ln(1)0xx.当01x时，ln(1)0xx.∴只需证明(1)ln(1)0xxx令()(1)ln(1)Hxxxx，且易知(0)0H.则1()1ln(1)(1)ln(1)1Hxxxxx（i）当0x时，易得()0Hx，则()Hx在(,0)上单调递减，∵(0)0H，∴()(0)0HxH，得证.（ii）当01x时，易得()0Hx，则()Hx在(0,1)上单调递增.∵(0)0H，∴()(0)0HxH，得证.综上证得()1gx.21.已知抛物线C：