2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U，集合{1,2}M，{3,4}N，则)(UCMN（)A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}答案A2.设43izi，则z（）A.34iB.–34iC.34iD.34i答案C3.已知命题:,sin1pxRx；命题||:,1xqxRe，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.()pq答案：A解析：根据正弦函数的值域sin[1,1]x，sin1x，故xR，p为真命题，而函数||xye为偶函数，且0x时，1xye，故xR，||1xye恒成立.则q也为真命题，所以pq为真，选A.4.函数()sincos33xxfx的最小正周期和最大值分别是（）A.3和2B.3和2C.6和2D.6和2答案：C解析：()2sin()34xfxmax()2fx，2613T.故选C.5.若,xy满足约束条件2,3,4,yxyxy则3zxy的最小值为（）A.18B.10C.6D.4答案：C解析：根据约束条件可得图像如下，3zxy的最小值，即3yxz，y轴截距最小值.根据图像可知3yxz过点(1,3)B时满足题意，即min336z.6.225coscos1212（）A.12B.33C.22D.32答案：D解析：2222223()sincos25coscoscoscoscos12121212121262∴选D.7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.16答案：B解析：在区间1(0,)2随机取1个数，可知总长度12d，取到的数小于13，可知取到的长度范围13d，根据几何概型公式123132dpd，∴选B.8.下列函数中最小值为4的是（）A.224yxxB.4|sin||sin|yxxC.222xxyD.4nlnlyxx答案：C解析：对于A，22224213(1)33yxxxxx.不符合，对于B，4|sin||sin|yxx，令|sin|[0,1]tx，∴4ytt，根据对勾函数min145y不符合，对于C，242222xxxxy，令20xt，∴442224ytttt，当且仅当2t时取等，符合，对于D，4nlnlyxx，令lntxR，4ytt.根据对勾函数(,4][4,)y，不符合.9.设函数1(1)xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1fxB.1()1fxC.1()1fxD.1()1fx答案：B解析：12()111xfxxx，()fx向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()gxx为奇函数.所以选B.10.在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为A.2B.3C.4D.6答案：D解析：做出图形，11//ADBC，所以1PBC为异面直线所成角，设棱长为1.12BC，122BP，122PC，62BP.2221111312322cos226222BCBPCPPBCBPBC，即16PBC，故选D.11.设B是椭圆C:2215xy的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为A.52B.6C.5D.2答案：A解析：方法一：由22:15xCy，(0,1)B则C的参数方程：5cossinxy.22||(sin1)(5cos)PB24sin2sin6212554(sin)442.∴max5||2PB，故选A.方法二：设00(,)Pxy，则220001([1,1])5xyy①，(0,1)B.因此22200||(1)PBxy②将①式代入②式化简得：22012525||4()444PBy，当且仅当014y时||PB的最大值为52，故选A.12.设0a，若xa为函数2()()()fxaxaxb的极大值点，则A.abB.abC.2abaD.2aba答案：D解析：2()2()()()()(32)fxaxaxbaxaaxaxba当0a时，原函数先增再减后增.原函数在()0fx的较小零点时取得极大值.即23aba，即ab，∴2aab.当0a时，原函数先减再增后减.原函数在()0fx的较大零点时取得极大值.即23aba，ab，2aab，故选D.二、填空题13.已知向量(2,5)a，(,4)b，若//ab，则.答案：85解析：由已知//ab可得82455.14.双曲线22145xy的右焦点到直线280xy的距离为.答案：5解析：22145xy的右焦点为(3,0)，到直线280xy的距离22|38|512d.15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B,223acac，则b.答案：22解析：由面积公式1sin32SacB，且60B，解得4ac，又由余弦定理2222cosbacacB，223acac，且0b解得22b.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC平面ABC，2PAPC，5BABC，2AC，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA平面ABC，1PA，5ACAB，2BC，俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21s和22s.（1）求x，y，21s，22s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210ssyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：见解析解析：9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x；10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y.211(0.040.090.040.010.040.010.040.09)10s10.360.03610221(0.040.010.040.090.040.090.040.010.04)10s10.40.0410.（2）10.3100.3yx22120.0360.04221010ss20.0076.∵则0.30.0920.0760.0304，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM.（1）证明：平面PAM平面PBD﹔（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积.答案：见解析解析：19.设{}na是首项为1的等比数列，数列{}nb满足3nnnab.已知1a，23a，39a，成等差数列.（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）记nS，和nT分别为{}na和{}nb的前n项和.证明：2nnST.答案：见解析解析：设{}na的公比为q，则1nnaq，因为1a，23a，39a成等差数列，所以21923qq，解得13q，故11()3nna，11313(1)12313nnnS.又3nnnb，则1231123133333nnnnnT，两边同乘13，则234111231333333nnnnnT，两式相减，得23412111113333333nnnnT，即1111(1)1133(1)332333121nnnnnnnT，整理得31323(1)4323423nnnnnnT，323314322()(1)04232323nnnnnnnTS，故2nnST.20.已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程，（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF，求直线OQ斜率的最大值.答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为p，则2p.抛物线c的方程：24yx.（2）设点200(,)4yPy，(,)QQQxy，(1,0)F.∵9PQQF.∴2022000009499(,)9(1,)4104910QQQQQQQQQQyyxxxyxyyxyyyxyy则0200011193992444QOQQyykyyxy.∴直线OQ斜率的最大值为13.21.已知函数32()1fxxxax.（1）讨论()fx的单调性；（2）求曲线()yfx过坐标原点的切线与曲线()yfx的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1）2()32fxxxa（i）当4120a，即13a时，()0fx恒成立，即()fx在()fx在xR上单调递增.（ii）当4120，即13a时，()0fx解得，11133ax，21133ax.∴()fx在113(,)3a，113(,)3a单调递增，在113113(,)33aa单调递减，综上所述：当13a时，()fx在R上单调递增；当13a时，()fx在113113(,)33aa单调递减.（2）设可原点切线的切点为32(,1)tttat，切线斜率2()32kfttta.又321ttatkt，可得322132ttatttat.化简得2(1)(21)0ttt，即1t.∴切点为(1,1)a，斜率1ka，切线方程为(1)yax，将(1)yax，321yxxax联立可得321(1)xxaxax，化简得2(1)(1)0xx，解得11x，21x.∴过原点的切线与()yfx公共点坐标为(1,1)a，(1,1)a.22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为)(2,1C，半径为1.（1）写出C的一个参数方程;（2）过点)(4,1F作C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）C的参数方程为2cos1sinxy（为参数）（2）C的方程为22(2)(1)1xy①当直线斜率不存在时，直线方程为4x，此时圆心到直线距离为2r，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)ykx，化简为410kxyk，此时圆心(2,1)C到直线的距离为2|2141|11kkdrk，化简得22||1kk，两边平方有2241kk，所以33k代入直线方程并化简得3340xy或3340xy化为极坐标方程为5cos3sin43sin()436