2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题（解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合24Axx，2,3,4,5B，则AB（）A.2B.2,3C.3,4D.2,3,4【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求AB.【详解】由题设有2,3AB，故选：B.2.已知2iz，则izz（）A.62iB.42iC.62iD.42i【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2zi，故2zi，故22262zziiii故选：C.3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22C.4D.42【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则22l，解得22l.故选：B.4.下列区间中，函数7sin6fxx单调递增的区间是（）A.0,2B.,2ππC.3,2D.3,22【答案】A【解析】【分析】解不等式22262kxkkZ，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sinyx的单调递增区间为22,22kkkZ，对于函数7sin6fxx，由22262kxkkZ，解得22233kxkkZ，取0k，可得函数fx的一个单调递增区间为2,33，则20,,233，2,,233，A选项满足条件，B不满足条件；取1k，可得函数fx的一个单调递增区间为58,33，32,,233且358,,233，358,2,233，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成sinyAωxφ形式，再求sinyAωxφ的单调区间，只需把x看作一个整体代入sinyx的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．5.已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF即可得到答案．【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等号成立）．故选：C．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．6.若tan2，则sin1sin2sincos（）A.65B.25C.25D.65【答案】C【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan2即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：22sinsincos2sincossin1sin2sinsincossincossincos2222sinsincostantan422sincos1tan145．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7.若过点,ab可以作曲线exy的两条切线，则（）A.ebaB.eabC.0ebaD.0eab【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果【详解】在曲线xye上任取一点,tPte，对函数xye求导得exy，所以，曲线xye在点P处的切线方程为ttyeext，即1ttyexte，由题意可知，点,ab在直线1ttyexte上，可得11tttbaeteate，令1tftate，则tftate.当ta时，0ft，此时函数ft单调递增，当ta时，0ft，此时函数ft单调递减，所以，maxaftfae，由题意可知，直线yb与曲线yft的图象有两个交点，则maxabfte，当1ta时，0ft，当1ta时，0ft，作出函数ft的图象如下图所示：由图可知，当0abe时，直线yb与曲线yft的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366PPPP甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36PPPPPP甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36PPPPPP乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,AB是否独立，先计算对应概率，再判断()()()PAPBPAB是否成立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据1x，2x，…，nx，由这组数据得到新样本数据1y，2y，…，ny，其中iiyxc(1,2,,),inc为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C利用两组数据的线性关系有()()EyExc、()()DyDx，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.【详解】A：()()()EyExcExc且0c，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为ix，则第二组的中位数为iiyxc，显然不相同，错误；C：()()()()DyDxDcDx，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为maxminxx，则第二组的极差为maxminmaxminmaxmin()()yyxcxcxx，故极差相同，正确；故选：CD10.已知O为坐标原点，点1cos,sinP，2cos,sinP，3cos,sinP，()1,0A，则（）A.12OPOPB.12APAPC.312OAOPOPOPD.123OAOPOPOP【答案】AC【解析】【分析】A、B写出1OP，2OP、1APuuur，2APuuur的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：1(cos,sin)OP，2(cos,sin)OP，所以221||cossin1OP，222||(cos)(sin)1OP，故12||||OPOP，正确；B：1(cos1,sin)AP，2(cos1,sin)AP，所以222221||(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4sin2|sin|22AP，同理222||(cos1)sin2|sin|2AP，故12||,||APAP不一定相等，错误；C：由题意得：31cos()0sin()cos()OAOP，12coscossin(sin)cos()OPOP，正确；D：由题意得：11cos0sincosOAOP，23coscos()(sin)sin()OPOP22coscossinsincossinsincoscossincoscos2sinsin2cos(2)，错误；故选：AC11.已知点P在圆225516xy上，点4,0A、0,2B，则（）A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时，32PBD.当PBA最大时，32PB【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆225516xy的圆心为5,5M，半径为4，直线AB的方程为142xy，即240xy，圆心M到直线AB的距离为2252541111545512，所以，点P到直线AB的距离的最小值为115425，最大值为1154105，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PMPB，22052534BM，4MP，由勾股定理可得2232BPBMMP，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l的距离的取值范围是,drdr.12.在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中0,1，0,1，则（）A.当1时，1ABP△的周长为定值B.当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C.当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD.当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP【答案】BD【解析】【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数．【详解】易知，点P在矩形11BCCB内部（含边界）．对于A，当1时，11=BPBCBBBCCC，即此时P线段1CC，1ABP