精品解析：2022年北京市高考数学试题（解析版）

学科网（北京）股份有限公司绝密★本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集{33}Uxx，集合{21}Axx，则∁∪𝐴=（）A.(2,1]B.(3,2)[1,3)C.[2,1)D.(3,2](1,3)【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：∁∪𝐴={x│-3x≤-2或1x3},，即∁∪𝐴=（-3，-2]∪(1,3)故选：D．2.若复数z满足i34iz，则z（）A.1B.5C.7D.25【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有34ii34i43iiiiz，故223|54|z．故选：B．3.若直线210xy是圆22()1xay的一条对称轴，则a（）A.12B.12C.1D.1【答案】A【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为,0a，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即学科网（北京）股份有限公司2010a，解得12a．故选：A．4.己知函数1()12xfx，则对任意实数x，有（）A.()()0fxfx-+=B.()()0fxfxC.()()1fxfxD.1()()3fxfx【答案】C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】1121112121212xxxxxfxfx，故A错误，C正确；11212121121212122121xxxxxxxxfxfx，不常数，故BD错误；故选：C．5.已知函数22()cossinfxxx，则（）A.()fx在,26上单调递减B.()fx在,412上单调递增C.()fx在0,3上单调递减D.()fx在7,412上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出cos2fxx，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为22cossincos2fxxxx.对于A选项，当26x时，23x，则fx在,26上单调递增，A错；对于B选项，当412x时，226x，则fx在,412上不单调，B错；对于C选项，当03x时，2023x，则fx在0,3上单调递减，C对；是学科网（北京）股份有限公司对于D选项，当7412x时，7226x，则fx在7,412上不单调，D错.故选：C.6.设na是公差不为0的无穷等差数列，则“na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，则0d，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列na的公差为d，则0d，记x为不超过x的最大整数.若na为单调递增数列，则0d，若10a，则当2n时，10naa；若10a，则11naand，由110naand可得11and，取1011aNd，则当0nN时，0na，所以，“na是递增数列”“存在正整数0N，当0nN时，0na”；若存在正整数0N，当0nN时，0na，取Nk且0kN，0ka，假设0d，令0nkaankd可得kankd，且kakkd，当1kankd时，0na，与题设矛盾，假设不成立，则0d，即数列na是递增数列.所以，“na是递增数列”“存在正整数0N，当0nN时，0na”.所以，“na是递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的充分必要条件.故选：C.7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）学科网（北京）股份有限公司A.当220T，1026P时，二氧化碳处于液态B.当270T，128P时，二氧化碳处于气态C.当300T，9987P时，二氧化碳处于超临界状态D.当360T，729P时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.【详解】当220T，1026P时，lg3P，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当270T，128P时，2lg3P，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当300T，9987P时，lgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，300T时对应的是非超临界状态，故C错误.当360T，729P时，因2lg3P,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D8.若443243210(21)xaxaxaxaxa，则024aaa（）A.40B.41C.40D.41【答案】B【解析】【分析】利用赋值法可求024aaa的值.【详解】令1x，则432101aaaaa，令1x，则443210381aaaaa，故420181412aaa，故选：B.学科网（北京）股份有限公司9.已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是ABC及其内部的点构成的集合．设集合5TQSPQ，则T表示的区域的面积为（）A.34B.C.2D.3【答案】B【解析】【分析】求出以P为球心，5为半径的球与底面ABC的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为三角形ABC的中心，且2362332BO，故361226PO.因为5PQ，故1OQ，故S的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC内切圆的圆心为O，半径为323643136，故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为故选：B10.在ABC中，3,4,90ACBCC．P为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PAPB的取值范围是（）A.[5,3]B.[3,5]C.[6,4]D.[4,6]【答案】D学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设cos,sinPθθ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则0,0C，3,0A，0,4B，因为1PC，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设cos,sinPθθ，0,2，所以3cos,sinPA，cos,4sinPB，所以cos3cos4sinsinPAPB22cos3cos4sinsin13cos4sin15sin，其中3sin5，4cos5，因为1sin1，所以415sin6，即4,6PAPB；故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数1()1fxxx的定义域是_________．【答案】,00,1学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为11fxxx，所以100xx，解得1x且0x，故函数的定义域为,00,1；故答案为：,00,112.已知双曲线221xym的渐近线方程为33yx，则m__________．【答案】3【解析】【分析】首先可得0m，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线221xym，所以0m，即双曲线的标准方程为221xym，则1a，bm，又双曲线221xym的渐近线方程为33yx，所以33ab，即133m，解得3m；故答案为：313.若函数()sin3cosfxAxx的一个零点为3，则A________；12f________．【答案】①.1②.2【解析】【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为π()2sin()3fxx，代入自变量π12x，计算即可.【详解】∵π33()0322fA，∴1A∴π()sin3cos2sin()3fxxxxππππ()2sin()2sin2121234f学科网（北京）股份有限公司故答案为：1，214.设函数21,,2,.axxafxxxa若()fx存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．【答案】①.0（答案不唯一）②.1【解析】【分析】根据分段函数中的函数1yax的单调性进行分类讨论，可知，0a符合条件，0a不符合条件，0a时函数1yax没有最小值，故()fx的最小值只能取2(2)yx的最小值，根据定义域讨论可知210a或2212aa，解得01a.【详解】解：若0a时，21,0(){(2),0xfxxx，∴min()0fx；若0a时，当xa时，()1fxax单调递增，当x时，()fx，故()fx没有最小值，不符合题目要求；若0a时，当xa时，()1fxax单调递减，2()()1fxfaa，当xa时，min20(02)(){(2)(2)afxaa∴210a或2212aa（），解得01a，综上可得01a；故答案为：0（答案不唯一），115.己知数列na各项均为正数，其前n项和nS满足9(1,2,)nnaSn．给出下列四个结论：①na的第2项小于3；②na为等比数列；③na为递减数列；④na中存在小于1100的项．其中所有正确结论序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出199nnnaaa，求出1a、2a的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.的学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知，Nn，0na，当1n时，219a，可得13a；当2n时，由9nnSa可得119nnSa，两式作差可得199nnnaaa，所以，199nnnaaa，则2293aa，整理可得222390aa，因为20a，解得235332a，①对；假设数列na为等比数列，设其公比为q，则2213aaa，即2213981SSS，所以，2213SSS，可得22221111aqaqq，解得0q，不合乎题意，故数列na不是等比数列，②错；当2n时，1119990nnnnnnnaaaaaaa，可得1nnaa，所以，数列na为递减数列，③对；假设对任意的N