2021年上海市春季高考数学试卷（原卷版）

第1页（共3页）2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}na的首项为3，公差为2，则10a．2．已知13zi，则||zi．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．4．不等式2512xx的解集为．5．直线2x与直线310xy的夹角为．6．若方程组111222axbycaxbyc无解，则1122abab．7．已知(1)nx的展开式中，唯有3x的系数最大，则(1)nx的系数和为．8．已知函数()3(0)31xxafxa的最小值为5，则a．9．在无穷等比数列{}na中，1lim()4nnaa，则2a的取值范围是．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合.A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11．已知椭圆2221(01)yxbb的左、右焦点为1F、2F，以O为顶点，2F为焦点作抛物线交椭圆于P，且1245PFF，则抛物线的准线方程是．12．已知0，存在实数，使得对任意*nN，3cos()2n，则的最小值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是()A．2()fxxB．()sinfxxC．()2xfxD．()1fx14．已知集合{|1Axx，}xR，2{|20Bxxx…，}xR，则下列关系中，正确的是()A．ABB．RRAB痧C．ABD．ABR15．已知函数()yfx的定义域为R，下列是()fx无最大值的充分条件是()A．()fx为偶函数且关于点(1,1)对称B．()fx为偶函数且关于直线1x对称C．()fx为奇函数且关于点(1,1)对称D．()fx为奇函数且关于直线1x对称16．在ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在ABC，使得0ABCE；②存在三角形ABC，使得//()CECBCA；它们的成立情况是()A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立第2页（共3页）三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面ABCD．（1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45，求PC与AD所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a，1cos4C．（1）若sin2sinAB，求b、c；（2）若4cos()45A，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||20PAPB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30QAQB千米，||||10QCQD千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1)20．（16分）已知函数()||fxxaax．（1）若1a，求函数的定义域；（2）若0a，若()faxa有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数()fx在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．21．（18分）已知数列{}na满足0na…，对任意2n…，na和1na中存在一项使其为另一项与1na的等差中项．（1）已知15a，23a，42a，求3a的所有可能取值；（2）已知1470aaa，2a、5a、8a为正数，求证：2a、5a、8a成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即0rstaaa，2rst，且11a，22a，求111rstaaa的最大值．第3页（共3页）