2021年上海市春季高考数学试卷（答案版）

第1页（共12页）2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}na的首项为3，公差为2，则10a．2．已知13zi，则||zi．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．4．不等式2512xx的解集为．5．直线2x与直线310xy的夹角为．6．若方程组111222axbycaxbyc无解，则1122abab．7．已知(1)nx的展开式中，唯有3x的系数最大，则(1)nx的系数和为．8．已知函数()3(0)31xxafxa的最小值为5，则a．9．在无穷等比数列{}na中，1lim()4nnaa，则2a的取值范围是．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合.A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11．已知椭圆2221(01)yxbb的左、右焦点为1F、2F，以O为顶点，2F为焦点作抛物线交椭圆于P，且1245PFF，则抛物线的准线方程是．12．已知0，存在实数，使得对任意*nN，3cos()2n，则的最小值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是()A．2()fxxB．()sinfxxC．()2xfxD．()1fx14．已知集合{|1Axx，}xR，2{|20Bxxx…，}xR，则下列关系中，正确的是()A．ABB．RRAB痧C．ABD．ABR15．已知函数()yfx的定义域为R，下列是()fx无最大值的充分条件是()A．()fx为偶函数且关于点(1,1)对称B．()fx为偶函数且关于直线1x对称C．()fx为奇函数且关于点(1,1)对称D．()fx为奇函数且关于直线1x对称16．在ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在ABC，使得0ABCE；②存在三角形ABC，使得//()CECBCA；它们的成立情况是()A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立第2页（共12页）三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面ABCD．（1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45，求PC与AD所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a，1cos4C．（1）若sin2sinAB，求b、c；（2）若4cos()45A，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||20PAPB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30QAQB千米，||||10QCQD千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1)20．（16分）已知函数()||fxxaax．（1）若1a，求函数的定义域；（2）若0a，若()faxa有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数()fx在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．21．（18分）已知数列{}na满足0na…，对任意2n…，na和1na中存在一项使其为另一项与1na的等差中项．（1）已知15a，23a，42a，求3a的所有可能取值；（2）已知1470aaa，2a、5a、8a为正数，求证：2a、5a、8a成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即0rstaaa，2rst，且11a，22a，求111rstaaa的最大值．第3页（共12页）2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}na的首项为3，公差为2，则10a21．【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解析】：因为等差数列{}na的首项为3，公差为2，则101939221aad．故答案为：21．【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．2．已知13zi，则||zi5．【思路分析】由已知求得zi，再由复数模的计算公式求解．【解析】：13zi，1312ziiii，则22|||12|125zii．故答案为：5．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为4．【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解析】：圆柱的底面半径为1r，高为2h，所以圆柱的侧面积为22124Srh侧．故答案为：4．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．不等式2512xx的解集为(7,2)．【思路分析】由已知进行转化702xx，进行可求．【解析】：252571100222xxxxxx，解得，72x．故答案为：(7,2)．【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．5．直线2x与直线310xy的夹角为6．【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解析】：直线2x的斜率不存在，倾斜角为2，直线310xy的斜率为3，倾斜角为3，故直线2x与直线310xy的夹角为236故答案为：6．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．6．若方程组111222axbycaxbyc无解，则1122abab0．【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．第4页（共12页）【解析】：对于方程组111222axbycaxbyc，有111111222222,,xyabcbacDDDabcbac，当0D时，方程组的解为xyDxDDyD，根据题意，方程组111222axbycaxbyc无解，所以0D，即11220abDab，故答案为：0．【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)nx的展开式中，唯有3x的系数最大，则(1)nx的系数和为64．【思路分析】由已知可得6n，令1x，即可求得系数和．【解析】：由题意，32nnCC，且34nnCC，所以6n，所以令1x，6(1)x的系数和为6264．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．8．已知函数()3(0)31xxafxa的最小值为5，则a9．【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成()31131xxafx，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解析】：()33112153131xxxxaafxa…，所以9a，经检验，32x时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．在无穷等比数列{}na中，1lim()4nnaa，则2a的取值范围是(4，0)(0，4)．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q的取值范围，再由极限的运算知14a，从而得解．【解析】：无穷等比数列{}na，公比(1q，0)(0，1)，lim0nna，11lim()4nnaaa，214(4aaqq，0)(0，4)．故答案为：(4，0)(0，4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合23种.A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点第5页（共12页）30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组合不符合题意，由此求出结果．【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323CCCC（种)．故答案为：23种．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．已知椭圆2221(01)yxbb的左、右焦点为1F、2F，以O为顶点，2F为焦点作抛物线交椭圆于P，且1245PFF，则抛物线的准线方程是12x．【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线1PF的方程并与抛物线联立，求出点P的坐标，由此可得212PFFF，进而可以求出1PF，2PF的长度，再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)Fc，2(,0)Fc，则抛物线24ycx，直线1:PFyxc，联立方程组24ycxyxc，解得xc，2yc，所以点P的坐标为(,2)cc，所以212PFFF，又22112,22PFFFcPFc所以所以122PFc，所以12(222)22PFPFca，则21c，所以抛物线的准线方程为：12xc，故答案为：12x．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．已知0，存在实数，使得对任意*nN，3cos()2n，则的最小值是25．【思路分析】在单位圆中分析可得3，由2*N，即2k，*kN，即可求得的最小值．【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOxBOx，所以3AOB，因为对任意*nN都成立，所以2*N，即2k，*kN，第6页（共12页）同时3，所以的最小值为25．故答案为：25．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是()A．2()fxxB．()sinfxxC．()2xfxD．()1fx【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解析】：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，故选：C．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．14．已知