06机械振动基础

第6章机械振动基础本章内容：6.1简谐振动6.2简谐振动的合成6.3阻尼振动和受迫振动简介zxc6.1.1简谐振动定义:特点:(1)等幅振动(2)周期振动6.1简谐振动x是描述位置的物理量,如y,z或等.)cos()(tωAtxm)()(Ttxtx谐振子1.受力特点机械振动的力学特点线性恢复力kxFmxOzxc2.动力学方程makxF0dd222xtx)cos()(tωAtx动力学方程其中为固有(圆)频率mkω3.速度和加速度)sin(tωAωv)2cos(tωAω)cos(vvtA)πcos(2tAa)cos(aatAzxc6.1.2谐振动的振幅、周期、频率和相位1.振幅A2.周期T和频率vv=1/T(Hz)3.相位(1)(t+)是t时刻的相位(2)是t=0时刻的相位——初相mxO相位的意义:)cos()(tωAtx)cos(2tAa)sin(tAv相位确定了振动的状态.相相位每改变2振动重复一次,相位2范围内变化,状态不重复.txOA-A=2zxcxtoA1A2-A2x1x2T同相相位差)cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12时）（当12m1xOm2当π212k当-A1x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相两振动步调相同,称同相。π)12(12k两振动步调相反,称反相。zxc6.1.3振幅和初相位的确定)cos()(tωAtxcos0Ax)sin(tωAωvsin0Aωv22020vxA)arctan(00xv注意:如何确定最后的.zxc6.1.4谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)1.动能221vmEk)(sin2122tkA2max21kAEk241d1kAtETETttkk2.势能221kxEP)(cos2122tkA3.机械能221kAEEEPk（简谐振动系统机械能守恒）0minkEzxc6.1.5谐振动旋转矢量表示法t+oxxtt=0Ava)sin(tAv)2cos(tA)cos(2tAa)cos(vvtA)cos(aatA特点:直观方便.··)cos()(tAtxzxc例物理摆如图所示,设刚体对轴的转动惯量为J.设t=0时摆角向右最大为0.求振动周期和振动方程.解JhmMsing0singJhmsin,5时0gJhmJhmghmJTg2单摆g2lT振动方程tωcos0Cgmhzxc例如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为12cm的两点A和B，历时2s，并且在A，B两点处具有相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点。AB解Ox质点运动的周期和振幅。求由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为T=42=8(s)cm6Axcm6Bx设平衡位置为坐标原点，则)2cos(tAx设t=0时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为t=1时,质点位于B点,所以)282cos(6A)2π8π2cos(tAcm26Azxc6.2谐振动的合成6.2.1同方向同频率谐振动的合成1.分振动:2.合振动:)cos()cos(2211tAtAtAAtAAsin)sinsin(cos)coscos(22112211cosAsinA)cos(sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx结论：合振动x仍是简谐振动zxc讨论:(1)若两分振动同相,即21=2k(k=0,1,2,…)(2)若两分振动反相,即21=(2k+1)(k=0,1,2,…)当A1=A2时,A=0则A=A1+A2,两分振动相互加强，则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，当A1=A2时,A=2A1)cos(212212221AAAAAzxc旋转矢量法处理谐振动的合成11A2A2Ax2x1x21xxxO1221xxx)cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA1.分振动)cos(111tAx)cos(222tAx2.合振动zxc6.2.2同方向不同频率谐振动的合成拍1.分振动:tωAxcos111tωAx222costω11A2Atω2Ax2x1x21xxxO2ω1ω2.合振动:21xxx当时,当时，合振动振幅的频率为:21AAA21AAAπ2)(12ktωωπ)12()(12ktωωA有最大值A有最小值tωω)(12π2)(12Tωω12122vvv结论：合振动x不再是简谐振动zxctAtAxxx2121coscos当21时,2-12+1，令其中)2cos(2)(12tAtA)2cos(cos12tt随t缓变随t快变ttAxcos)(振幅相同不同频率的简谐振动的合成tAx11costAx22costtA)2cos()2cos(212122.合振动:1.分振动:结论：合振动x可看作是振幅缓变的简谐振动。zxcxx2x1ttt3.拍的现象OOO拍频:单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即1212π)2()(vv/ωωv拍原理的应用zxc6.2.3两个相互垂直谐振动的合成利萨如图1.分振动2.合运动)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx讨论当=2−1=k(k为整数)时:0221222212AyAxAyAx当=(2k+1)/2(k为整数)时：1222212AyAx021AyAx)cos(11tAx)cos(22tAyxyzxc=0(第一象限)=/2==3/2(第二象限)(第三象限)(第四象限))(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx12zxc6.3阻尼振动和受迫振动简介6.3.1阻尼振动1.阻尼力xμf2.振动的微分方程xμkxxm022xωxnx式中，ω2=k/m,n=/(2m)(阻尼系数)3.几种阻尼振动模式（1）小阻尼（3）大阻尼fvl0x（2）临界阻尼zxc（2）临界阻尼(n2=2)（1）小阻尼(n22))cos(220tnωAexnt在过阻尼和临界阻尼时无振动.XtO大阻尼临界阻尼XtOntAe（3）大阻尼(n22)阻尼的应用TnT222'zxc6.3.2受迫振动1.受力分析弹性力阻尼力x周期性干扰力tFxμkxxmsin0kx2.受迫振动的微分方程tfxxnxsin220tFFsin0）2(00；；令：mFfmnmkkxFxμF'pNtFsin0xl0xzxc3.受迫振动微分方程的稳态解为:)sin(tωBx其中，振幅B及受迫振动与干扰力之间的相位差β分别为：2/1222202]4)[(ωnωωfB2202tanωωnω结论:振幅B及受迫振动与干扰力之间的相位差β都与起始条件无关。讨论:（1）位移共振(振幅取极值)（2）速度共振(速度振幅取极值)zxc（1）位移共振(振幅取极值)（振幅共振曲线）共振频率:2202nr共振振幅:2202nnfBr（2）速度共振(速度振幅取极值)共振频率:0共振速度振幅:nfm2v2222024)(nfBmv（速度共振曲线）共振的应用和危害如何减小共振的影响…示教演示zxc塔科马海峡桥的倒塌