2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）1235711A，，，，，315|BxxA.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】采用列举法列举出中元素的即可.AB【详解】由题意，，故中元素的个数为3.{5,7,11}ABAB故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.若，则z=（）11ziiA.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D【解析】【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.zz【详解】因为，所以.21(1)21(1)(1)2iiiziiiizi=故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍，(1,2,,)iaxbinL，(1,2,,)ixinL，2a所以所求数据方差为2100.01=1故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K0.23(53)()=1etIKt*t时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）*tA.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.tt0.23531tKIte0.95ItKt【详解】，所以，则，0.23531tKIte0.23530.951tKItKe0.235319te所以，，解得.0.2353ln193t353660.23t故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.已知，则（）πsinsin=31πsin=6A.B.C.D.12332322【答案】B【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，13sinsincos122则：，，33sincos122313sincos223从而有：，3sincoscossin663即.3sin63故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.6.在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）=1ACBCA.圆B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，20ABaa则：，设，可得：，,0,,0AaBa,Cxy,,,ACxayBCxay从而：，2ACBCxaxay结合题意可得：，21xaxay整理可得：，2221xya即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.21a故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A.（，0）B.（，0）C.（1，0）D.（2，0）1412【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐ODOE4COxCOxD标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.p【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，2x22(0)ypxp,CDODOE根据抛物线的对称性可以确定，所以，4DOxCOx(2,2)C代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，44p1p1(,0)2故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.8.点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（）1ykxA.1B.C.D.223【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线(1,0)P(0,1)A(1)ykxAPA距离最大，即可求得结果.(1)ykx【详解】由可知直线过定点，设，(1)ykx(1,0)P(0,1)A当直线与垂直时，点到直线距离最大，(1)ykxAPA(1)ykx即为.||2AP故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+4B.4+4C.6+2D.4+22233【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABCADCCDBSSS△△△根据勾股定理可得：22ABADDB是边长为的等边三角形ADB△22根据三角形面积公式可得：2113sin60(22)23222ADBSABAD△该几何体的表面积是：.2362332故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.10.设a=log32，b=log53，c=，则（）23A.acbB.abcC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】分别将a,b改写为，，再利用单调性比较即可.331log23a351log33b【详解】因为，，333112log2log9333ac355112log3log25333bc所以.acb故选：A【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与回归的思想，是一道中档题.11.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（）23A.B.2C.4D.85555【答案】C【解析】【分析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求ccosBtan.B【详解】设,,ABcBCaCAb22222cos916234933cababCc22221145cossin1()tan452999acbBBBac故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知函数f(x)=sinx+，则（）1sinxA.f(x)的最小值为2B.f(x)的图像关于y轴对称C.f(x)的图像关于直线对称D.f(x)的图像关于直线对称x2x【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】可以为负，所以A错；sinx关于原点对称；1sin0()()sin()sinxxkkZfxxfxxQQ()fx故B错；11(2)sin(),()sin(),sinsinfxxfxfxxfxxxQ关于直线对称，故C错，D对()fx2x故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为_________．0,201,xyxyx，【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为，所以，易知截距越大，则越大，32zxy322xzy2zz平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，32xy322xzy由，得，，21yxx12xy(1,2)A所以.max31227z故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.设双曲线C：(a0，b0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．22221xyab2【答案】3【解析】【分析】根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.2ba,,abc【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，22221xyabx因为其一条渐近线为，2yx所以，.2ba2213cbeaa故答案为：3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.15.设函数．若，则a=_________．e()xfxxa(1)4ef【答案】1【解析】【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：，221xxxexaeexafxxaxa则：，据此可得：，12211111eaaefaa241aeea整理可得：，解得：.2210aa1a故答案为：.1【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点M为BC边上的中点，2,3BCABAC设内切圆的圆心为，O由于，故，223122AM1222222S△ABC设内切圆半径为，则：rABCAOBBOCAOCSSSS△△△△111222ABrBCrACr，1332222r解得：，其体积：.22r=34233Vr故答案为：.23【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列{an}满足，．124aa318aa（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．nS13mmmSSS【答案】（1）；（2）.13nna6m【解析】