2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1.设集合{0|04}Mx，1{|5}3Nxx，则MN（）A.1{|0}3xxB.1{|4}3xxC.{|45}xxD.{|05}xx答案：B解析：由图知，1{|4}3MNxx.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C解析：A.低于4.5万元的比率估计为0.0210.0410.066%，正确.B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.023)10.110%，正确.C.平均值为(30.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1110.04120.02130.02140.02)17.68万元，不正确.D.4.5万到8.5万的比率为0.110.1410.210.210.64，正确.3.已知2(1)32izi，则z（）A.312iB.312iC.32iD.32i答案：B解析：232322331(1)222iiiziii.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5lgLV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（10101.259）（）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案：C解析：代入5lgLV，知lg4.950.1V，故0.1101100.810V.5.已知1F，2F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且1260FPF，12||3||PFPF，则C的离心率为（）A.72B.132C.7D.13答案：A解析：记11||rPF，22||rPF，由123rr及122rra，得13ra，2ra，又由余弦定理知2221212122cos4rrrrFPFc，得2274ac，从而72cea.6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G，该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.答案：D解析：由题可得直观图，如下图.故选D.7.等比数列{}na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：{}nS是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：若1q，则1nSna.①10a，则{}nS单调递增；②10a，则{}nS单调递减，∴甲¿乙，又若{}nS单调递增，则1nnSS恒成立，∴1100nnaaq恒成立，∴10a，0q，∴甲乙.综上：甲乙，选B.8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足45ACB，60ABC.由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100:由B点测得A点的仰角为45,则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为（）（31.732）A.346B.373C.446D.473答案：B解析：过C作'BB的垂线交'BB于点M，过B作'AA的垂线交'AA于点N，由题意得100BM，15BCM，45ABN，即100''tan15CMBC.所以1002sin45tan152sin75sin75BCBNBA502sin15，所以502502273sin15624ANBN.得A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为273100373，故选B。9.若(0,)2a，costan22sin，则tan（）A.1515B.55C.53D.153答案：A解析：costan22sin.2222tan2sincoscostan21tancossin2sin∴222sin(2sin)cossin∴22224sin2sincossin12sin∴1sin4.又∵(0,)2.如图，115tan1515.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.45答案：C解析：把位置依次标为1到6.总数：先排2个0，有2615C种，再排4个1，有一种，故共有15种.满足题设的排法：先排4个1，有1种.其间有5个空，选2个空插入有2510C种.故102153P.满足题设排法的另一种解释：0的位置有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,6)，共10种.11.已知,,ABC是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，1ACBC，则三棱锥OABC的体积为（）A.212B.312C.24D.34答案：A解析：记O为,,ABC所在圆面的圆心，则OOABC.又2AB，所以2222221()22OOOAAO.所以1112211332212OABCABCVSOO.故选A.12.设函数()fx的定义域为R，(1)fx为奇函数，(2)fx为偶函数，当[1,2]x时，2()fxaxb.若(0)(3)6ff，则9()2f（）A.94B.32C.74D.52答案：D解析：∵(1)fx为奇函数，∴()fx关于(1,0)中心对称，∴(1)0f.因(2)fx为偶函数，故()fx关于2x轴对称，周期为4.∴(0)(2)ff，(3)(1)ff.即(1)(2)6ff，(2)6f.046abab，22ab.故91395()()()(22)22242fff.故选D.二、填空题13.曲线212xyx在点(1,3)处的切线方程为.答案：52yx.解析：25()(2)fxx，(1)5f，3(1)31f.切线：35(1)52yxyx.14.已知向量(3,1)a，(1,0)b，cakb.若ac，则k.答案：103解析：(3,1)ck，03(3)10ack.所以103k.15.已知1F，2F为椭圆22:1164xyC的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF，则四边形12PFQF的面积为.答案：8解析：如图，由12||||PQFF及椭圆对称性可知，四边形12PFQF为矩形.设1||PFm，2||PFn，则222128||48mnmnFF①②，22①②得216mn.所以，四边形12PFQF面积为8mn.16.已知函数()2cos()fxx的部分图像如图所示，则满足条件74(()())(()())043fxffxf的最小正整数x为.答案：2解析：由图可知，()fx的最小正周期413()3123T，∴2.∵13()212f，∴132cos()26，∴26k，kZ.∴()2cos(2)6fxx，∴4()03f，7()14f.∴(()1)(()0)0()0fxfxfx或()1fx.结合图像可知，满足()1fx的离y轴最近的正数区间(0,)4，无正数；()0fx的离y轴最近的正数区间为5(,)36，最小正整数2x.三、解答题（1）必考题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，答案：见解析解析：（1）由表格数据得：甲机床生产的产品中一级品的频率为1503=2004；乙机床生产的产品中一级品的频率为12032005；（2）由题意222()400(1508012050)()()()()200200270130nadbckabcdacbd10.2566.635.所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列{}na的各项均为正数，记nS为{}na的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{}na是等差数列：②数列{}nS是等差数列：③213aa.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，①，③②答案：见解析解析：①，③②,证明：设等差数列{}na的公差为d.因为213aa，所以113ada，则12da.所以21111(1)(1)2nnnSnadnannana，所以1111(1)nnSSnanaa.所以{}nS是首项为1a，公差为1a的等差数列.19.已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点，11BFAB.（1）证明：BFDE；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？答案：见解析；解析:（1）连1AE，取BC中点M连1BM，EM，由EM为AC，BC的中点，则//EMAB，又11//ABAB，11//ABEM，则11ABME共面，故DE面11ABME.又在侧面11BCCB中1FCBMBB，则1BFMB又1111111111111,BFABMBABBBFABMEMBABABME面面，则BFDE.（2）11BFAB，则2229BFABAFBFAB.又22228AFFCACAC则ABBC.如图以B为原点建立坐标轴，则(0,0,0)B，(0,2,0)C，(2,0,0)A，(1,1,0)E，(0,2,1)F.设1DBt则(,0,2),02Dtt.则面11BCCB法向量为(1,0,0)m，对面DEF设法向量为(,,)nxyz，则(1,1,1)(1,1,2)EFEDt，0(3,1,2)0EFnnttEDn则222233cos,3(1)(2)2214mntttt.要求最小正弦值则求最大余弦值.当12t时二面角余弦值最大，则112BD时二面角正弦值最小.20.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1lx交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点(2,0)M，且M与l相切.（1）求C，M的方程；（2）设1A，2A，3A是C上的三个点，直线12AA，13AA均与M相切，判断直线23AA，与M的位置关系，并说明理由.答案：见解析；解析：（1）2:Cyx，22:(2)1Mxy.（2）设21(,)Aaa，22(,)Abb，23(,)Acc.1221:()()0AAlyax