2015年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）

2015年高考山东省理科数学真题一、选择题1.已知集合，，则（）243|0Axxx24|BxxABA．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）2.若复数Z满足，其中i为虚数为单位，则Z=（）1ZiiA．1-iB．1+iC．-1-iD．-1+i3.要得到函数的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（）sin(4)3yxA．向左平移个单位B．向右平移个单位1212C．向左平移个单位D．向右平移个单位334.已知菱形ABCD的边长为，，则（）a60ABCBDCDA．B．C．D．232a234a234a232a5.不等式|x-1|-|x-5|2的解集是（）A．B．C．（1，4）D．（1，5）(,4)(,1)6.已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）020xyxyyA．3B．2C．-2D．-37.在梯形ABCD中，，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成2ABC的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．23435328.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，2(,)N则，。）(P)68.26%(2P2)95.44%A．4.56%B．12.59%C．27.18%D．31.74%9.一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为22(3)(2)1xy（）A．或B．或C．或D．或533532235445433410.设函数，则满足的a取值范围是（）31,1()2,1xxxfxx()(())2faffaA．B．[0，1]C．D．2[,1]32[,)3[1,)二、填空题11.观察下列各式：001011330122555012337777=4444CCCCCCCCCC……照此规律，当当nN时，C02n-1+C12n-1+C22n-1+…+Cn-12n-1=.12.若“x[0，]，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为.413.执行下面的程序框图，输出的T的值为.14.已知函数的定义域和值域都是，则________()(0,1)xfxabaa1,0ab15.平面直角坐标系xOy中，双曲线C：（a0,b0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py(p0)交于O，若22221xyab的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为___________．ABC16.设。2()sincoscos()4fxxxxx（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若f（ABC）=0，a=1，求面积的最大值。2AABC17.如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点。（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大45小。18.设数列的前n项和为。已知。{}nanS233nnS（Ⅰ）求的通项公式；{}na（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和。{}nb23=lognnab{}nbnT19.若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”nnn（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.XEX20.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是。xoy2222:1(0)xyCabab3212FF、以为圆心以3为半径的圆与以为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆上。1F2F𝐶（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆为椭圆C上任意一点，过点P的直线交椭圆E于A，B两点，射线2222:144xyEabykxmPO交椭圆E于点Q.（i）求的值；||||OQOP（ii）求面积的最大值。ABQ将ykxm代入椭圆C的方程21设函数，其中。2()ln(1)()fxxaxxR（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；()fx（Ⅱ）若成立，求的取值范围。0,()0xfx2015年高考山东省理科数学真题答案一、选择题1.答案：C解析过程：，，13Axx24Bxx所以，选C23ABxx2.答案：A解析过程：因为1zii，所以，11ziii所以，1zi，选A3.答案：B解析过程：因为，sin(4)sin4()312yxx所以，只需要将函数的图象sin4yx向右平移个单位，选B124.答案：D解析过程：因为BDCDBDBABABCBA=22223cos602BABCBAaaa，选D.5.答案：A解析过程：原不等式可转化为以下三个不等式的并集：（Ⅰ），解得1152xxx1xx（Ⅱ），解得15152xxx14xx（Ⅲ），解得5152xxx综上，原不等式的解集为，选A4xx6.答案：B解析过程：作出可行域如图若的最大值为4，则最优解可能为或zaxy(1,1)A(2,0)B经检验不是最优解，是最优解，此时(1,1)A(2,0)B2a7.答案：C解析过程：直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：2215121133VVV圆柱圆锥，选C8.答案：B解析过程：用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：13666332PPP0.95440.68260.13592，选B.9.答案：D解析过程：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，(2,3)设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为：k，即3(2)ykx230kxyk又因为光线与圆相切，22(3)(2)1xy所以，，整理得2322311kkk21225120kk解得：或，选D43k34k10.答案：C解析过程：当时，，1a21afa所以，，即符合题意；()(())2faffa1a当时，，若，1a()31faa()1fa即，，所以符合题意；311a23a213a综上，的取值范围是，选Ca2[,)3二、填空题11.答案：14n解析过程：由归纳推理得：01211212121214nnnnnnCCCC12.答案：1解析过程：在上单调递增，所以tanyx0,4在上的最大值为tanyx0,4tan14由题意得，1m13.答案：116解析过程：初始条件1,1,3nTn成立；运行第一次：101311,2,322Txdxnn成立；运行第二次：12033111,3,32236Txdxnn不成立；输出T的值：11.6结束14.答案：32解析过程：若，则在上为增函数1afx1,0所以，此方程组无解；1110abb若，则在上为减函数01afx1,0所以，解得，所以1011abb122ab32ab15.答案：32解析过程：设OA所在的直线方程为byxa,则OB所在的直线方程为byxa解方程组22byxaxpy得：2222pbxapbya，所以点A的坐标为2222,pbpbaa抛物线的焦点F的坐标为:0,2p因为F是ABC的垂心，所以1OBAFkk所以，2222252124pbpbbapbaaa所以，2222293142cbeeaa16.答案：（I）单调递增区间是,44kkkz；单调递减区间是3,44kkkz（II）ABC面积的最大值为234解析过程：（I）由题意知1cos(2)sin22()22xxfxsin21sin21sin2222xxx由，，22222kxkkz可得，，44kxkkz由，，322222kxkkz可得，，344kxkkz所以，函数的单调递增区间是（）fx,44kkkz函数的单调递减区间是（）fx3,44kkkz（II）由，得1()sin022AfA1sin2A由题意得为锐角，所以A3cos2A由余弦定理：2222cosabcbA可得：22132bcbcbc即：，当且仅当时等号成立23bcbc因此123sin24bcA所以面积的最大值为ABC23417.答案：（I）详见解析；（II）60解析过程：（I）证法一：连接,.DGCD设CDGFM,连接MH，在三棱台DEFABC中，2ABDEG，分别为AC的中点，可得//,DFGCDFGC，所以四边形DFCG是平行四边形，则M为CD的中点，又H是BC的中点，所以//HMBD,又HM平面FGH，BD平面FGH，所以//BD平面FGH.证法二：在三棱台DEFABC中，由2,BCEFH为BC的中点，可得//,,BHEFBHEF所以HBEF为平行四边形，可得//.BEHF在ABC中，GH，分别为ACBC，的中点，所以//,GHAB又GHHFH，所以平面//FGH平面ABED，因为BD平面ABED，所以//BD平面FGH.（Ⅱ）解法一：设2AB，则1CF在三棱台DEFABC中，G为AC的中点由12DFACGC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此//DGCF又FC平面ABC所以DG平面ABC在ABC中，由,45ABBCBAC，G是AC中点，所以,ABBCGBGC因此,,GBGCGD两两垂直,以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz所以0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,1GBCD可得22,,0,0,2,122HF故22,,0,0,2,122GHGF设,,nxyz是平面FGH的一个法向量，则由0,0,nGHnGF可得020xyyz可得平面FGH的一个法向量1,1,2n因为GB是平面ACFD的一个法向量，2,0,0GB所以21cos,2||||22GBnGBnGBn所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为60解法二：作HMAC于点M，作MNGF于点N，连接NH由FC平面ABC，得HMFC又FCACC所以HM平面ACFD因此GFNH所以MNH即为所求的角在BGC